Sobre espaço vetorial, podemos afirmar que.
Escolha uma ou mais:
a. Um conjunto pode ser um espaço vetorial munido de operações de adição e de multiplicação por escalar que não têm relação alguma com as operações usuais do \mathbb{R}^{n}.
b. Qualquer tipo de objeto (matriz, polinômios, número real etc) pode ser um vetor.
c. Antes de analisarmos se as propriedades de adição e de multiplicação por escalar estão satisfeitas, é necessário verificar apenas se a adição de dois elementos quaisquer do conjunto pertence ao conjunto.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre o conceito de espaço vetorial e pede para identificar quais estão corretas. O conteúdo aqui é a definição abstrata de espaço vetorial, que exige um conjunto V com duas operações (adição e multiplicação por escalar) satisfazendo oito axiomas, dentre eles fechamento, associatividade, existência de neutro e inverso, distributividade etc.

Passo 2

Analisando a afirmação (a): “Um conjunto pode ser um espaço vetorial munido de operações de adição e de multiplicação por escalar que não têm relação alguma com as operações usuais do \mathbb{R}^{n}.”
Isso é verdadeiro porque um espaço vetorial é definido de forma abstrata: as operações só precisam satisfazer os axiomas, sem precisar ser a adição ou multiplicação de \mathbb{R}^{n}. Exemplos incluem o espaço de polinômios ou de funções, cujas operações são diferentes daquelas em \mathbb{R}^{n}.

Passo 3

Analisando a afirmação (b): “Qualquer tipo de objeto (matriz, polinômios, número real etc) pode ser um vetor.”
Isso é falso, pois nem todo objeto isolado é um vetor: ele só o é quando faz parte de um espaço vetorial com operações bem definidas que satisfaçam os axiomas. Não basta escolher um objeto qualquer; é preciso que o conjunto desses objetos, junto com operações adequadas, forme de fato um espaço vetorial.

Passo 4

Analisando a afirmação (c): “Antes de analisarmos se as propriedades de adição e de multiplicação por escalar estão satisfeitas, é necessário verificar apenas se a adição de dois elementos quaisquer do conjunto pertence ao conjunto.”
Isso também é falso. Para definir um espaço vetorial, devemos verificar o fechamento tanto da adição quanto da multiplicação por escalar antes de testar os demais axiomas. Não basta checar só o fechamento da soma.

Resposta

(a)

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