Calcule a integral invertendo antes a ordem de integração.
\int_{0}^{1} \int_{4 x}^{4} e{-y{2}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral dupla
integral0^1integral4x^4 e^-y^2,dy,dx
invertendo a ordem de integração. O conteúdo aqui envolve identificar a região de integração no plano (x,y) e usar o Teorema de Fubini para trocar a ordem antes de calcular a integral.

Passo 2

A região R é dada por
0<= x<= 1, 4x<= y<= 4
No plano (x,y), isso corresponde aos pontos abaixo da reta y=4 e acima da reta y=4x. Para inverter a ordem, observamos que y varia de 0 (quando x=0) até 4, e para cada yin[0,4] o x satisfaz
0<= x<= y4

Passo 3

Escrevendo a integral em ordem invertida, obtemos
integral0^1integral4x^4 e^-y^2,dy,dx = integraly=0^4integralx=0^y/4 e^-y^2,dx,dy

Passo 4

Primeiro integramos em x:
integral0^y/4 e^-y^2,dx = l[xr]0^y/4,e^-y^2 = y4,e^-y^2
Assim a integral torna-se
integral0^4 y4,e^-y^2,dy = 14integral0^4 y,e^-y^2,dy
Fazendo a substituição u=y^2, temos du=2y,dy ou y,dy=tfracdu2, e os limites em u vão de 0 a 16. Então
14integral0^4 y,e^-y^2,dy = 14cdot 12integral0^16 e^-u,du = 18l[-e^-ur]0^16 = 18l(1 - e^-16r)

Resposta

1 - e^-168

Exercícios relacionados