(a) Encontre um conjunto fundamental de soluções da e.d.o. y^prime prime(x)-y^prime(x)-2 y(x)=0. Use o Wronskiano para mostrar que as funções são L.I.
(b) Encontre a única solução do problema de valor inicial
y^prime prime(x)-y^prime(x)-2 y(x)=0, y(0)=alpha, y^prime(0)=2
Determine para que valor de alpha a solução tende a zero quando x infty.
(c) Determine uma solução particular para a e.d.o. não homogênea y^prime prime(x)-y^prime(x)-2 y(x)=e^2 x.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''(x)-y'(x)-2y(x)=0
(a) precisamos achar um conjunto fundamental de soluções e usar o Wronskiano para mostrar que são linearmente independentes;
(b) resolver o problema de valor inicial
y''-y'-2y=0, y(0)=alpha,;y'(0)=2
e determinar para qual alpha a solução tende a zero quando xtoinfty;
(c) encontrar uma solução particular de
y''-y'-2y=e^2x.

Passo 2

Para a parte (a) usamos o método do polinômio característico. Assumimos y=e^rx, daí
r^2 - r - 2 = 0
Resolvendo, obtemos as raízes
r = 2, r = -1
Logo um conjunto fundamental de soluções é
y1(x) = e^2x, y2(x)=e^-x

Passo 3

Calculamos o Wronskiano
W(y1,y2)(x) = y1 & y2 y1'& y2' = e^2x & e^-x 2e^2x & -e^-x =e^2x(-e^-x) - 2e^2xe^-x =-3e^x
Como W(y1,y2)(x)=-3e^xneq0 para todo x, y1 e y2 são linearmente independentes.

Passo 4

Para a parte (b) a solução geral é
Impondo as condições iniciais
Somando as duas equações dá (3C_1=\alpha+2], logo

Portanto

Passo 5

Para que y(x)to0 quando xtoinfty é preciso anular o termo e^2x, ou seja C1=0. Daí
alpha+23=0Longrightarrowalpha=-2

Passo 6

Na parte (c) buscamos uma solução particular por coeficientes indeterminados. Como e^2x é solução do homogêneo, tentamos
yp(x)=A,x,e^2x
Calculamos
yp'=A,e^2x+2A,x,e^2x, yp''=4A,e^2x+4A,x,e^2x
Substituindo em y''-y'-2y=e^2x obtém­-se
(4A,e^2x+4A x e^2x)-(A e^2x+2A x e^2x)-2(A x e^2x) =3A,e^2xoverset!=e^2x,
logo 3A=1 e A=tfrac13. Assim
yp(x)=13,x,e^2x

Resposta

(a) Um conjunto fundamental é e^2x,e^-x e o Wronskiano é -3e^xneq0.
(b)
y(x)=alpha+23e^2x+2(alpha-1)3e^-x,
e y(x)to0 quando xtoinfty se, e somente se, alpha=-2.
(c)
yp(x)=13,x,e^2x

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