(a) Encontre um conjunto fundamental de soluções da e.d.o. . Use o Wronskiano para mostrar que as funções são L.I.
(b) Encontre a única solução do problema de valor inicial
Determine para que valor de a solução tende a zero quando .
(c) Determine uma solução particular para a e.d.o. não homogênea .
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
(a) precisamos achar um conjunto fundamental de soluções e usar o Wronskiano para mostrar que são linearmente independentes;
(b) resolver o problema de valor inicial
e determinar para qual a solução tende a zero quando ;
(c) encontrar uma solução particular de
.
Passo 2
Para a parte (a) usamos o método do polinômio característico. Assumimos , daí
Resolvendo, obtemos as raízes
Logo um conjunto fundamental de soluções é
Passo 3
Calculamos o Wronskiano
Como W(y1,y2)(x)=-3e^xneq0 para todo x, y1 e y2 são linearmente independentes.
Passo 4
Para a parte (b) a solução geral é
Impondo as condições iniciais
Somando as duas equações dá (3C_1=\alpha+2], logo
Portanto
Passo 5
Para que y(x)to0 quando xtoinfty é preciso anular o termo e^2x, ou seja C1=0. Daí
alpha+23=0Longrightarrowalpha=-2
Passo 6
Na parte (c) buscamos uma solução particular por coeficientes indeterminados. Como e^2x é solução do homogêneo, tentamos
yp(x)=A,x,e^2x
Calculamos
yp'=A,e^2x+2A,x,e^2x, yp''=4A,e^2x+4A,x,e^2x
Substituindo em y''-y'-2y=e^2x obtém-se
(4A,e^2x+4A x e^2x)-(A e^2x+2A x e^2x)-2(A x e^2x) =3A,e^2xoverset!=e^2x,
logo 3A=1 e A=tfrac13. Assim
yp(x)=13,x,e^2x
Resposta
(a) Um conjunto fundamental é e^2x,e^-x e o Wronskiano é -3e^xneq0.
(b)
y(x)=alpha+23e^2x+2(alpha-1)3e^-x,
e y(x)to0 quando xtoinfty se, e somente se, alpha=-2.
(c)