Calcule a integral invertendo antes a ordem de integração.
\int_{0}^{2} \int_{y / 2}^{1} \cos \left(x^{2}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
integral0^2integraly/2^1cosl(x^2r),dx,dy
e pede que invertamos a ordem de integração para calcular. O conteúdo é integrais duplas e troca de ordem de integração; vamos precisar descrever a região de integração no plano (x,y) e depois integrar passo a passo.

Passo 2

Começamos descrevendo a região D dada por
0<= y<= 2, y2<= x<= 1
Reescrevendo tfrac y2<= x como y<= 2x, temos
D=(x,y)mid 0<= y<= 2,;y<= 2x,;x<= 1
Para trocar a ordem, vemos que x varia de 0 (quando y=0) até 1, e para cada xin[0,1] o y vai de 0 até 2x (pois 2x<=2 nessa faixa).

Passo 3

Logo a integral com ordem invertida fica
integralx=0^1integraly=0^2xcosl(x^2r),dy,dx

Passo 4

Integramos primeiro em y. Como cos(x^2) é constante em relação a y,
integraly=0^2xcosl(x^2r),dy =cosl(x^2r)integral0^2xdy =2x,cosl(x^2r)
Assim a integral passa a ser
integral0^12xcosl(x^2r),dx
Fazemos a substituição u=x^2, de modo que du=2x,dx e, quando x vai de 0 a 1, u vai de 0 a 1. Portanto
integral0^12xcosl(x^2r),dx =integralu=0^1cos(u),du =sin(u)|0^1 =sin(1)

Resposta

sin(1)

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