Calcule a integral invertendo antes a ordem de integração.
\int_{0}^{2} \int_{y / 2}^{1} \cos \left(x^{2}\right) d x d y
\int_{0}^{2} \int_{y / 2}^{1} \cos \left(x^{2}\right) d x d y
Passo 1
O enunciado nos dá a integral
e pede que invertamos a ordem de integração para calcular. O conteúdo é integrais duplas e troca de ordem de integração; vamos precisar descrever a região de integração no plano
e depois integrar passo a passo.
Passo 2
Começamos descrevendo a região
dada por
Reescrevendo
como
, temos
Para trocar a ordem, vemos que
varia de
(quando
) até
, e para cada
o
vai de
até
(pois
nessa faixa).
Passo 3
Logo a integral com ordem invertida fica
Passo 4
Integramos primeiro em
. Como
é constante em relação a
,
Assim a integral passa a ser
Fazemos a substituição
, de modo que
e, quando
vai de
a
,
vai de
a
. Portanto