partial fpartial x, partial fpartial y e partial^2 fpartial x partial y se f(x, y)=e^x cos (2 x-3 y)

Passo 1

O enunciado dá
f(x,y)=e^xcosl(2x-3yr)
e pede as derivadas parciais partial fpartial x, partial fpartial y e a mista partial^2 fpartial x partial y. Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x tratamos y como constante e escrevemos u=2x-3y. Aplicando a regra do produto a e^xcos(u) e a cadeia em cos(u), obtemos
partial fpartial x = e^xcosl(2x-3yr) + e^xl(-sin(2x-3y)r)cdot 2
e, organizando,
partial fpartial x = e^xl[cos(2x-3y)-2sin(2x-3y)r]

Passo 3

Para partial fpartial y derivamos apenas cos(u) em relação a y, sabendo que dudy=-3. Assim,
partial fpartial y = e^xl(-sin(2x-3y)r)cdot(-3)
=3,e^xsin(2x-3y)

Passo 4

Para a mista partial^2 fpartial xpartial y derivamos partial fpartial y=3,e^xsin(2x-3y) em relação a x. Usamos produto e cadeia:
partial^2 fpartial xpartial y =3l(e^xsin(2x-3y)r)' =3l[e^xsin(2x-3y)+e^xcos(2x-3y)cdot2r]
=3,e^xl[sin(2x-3y)+2cos(2x-3y)r]

Resposta

partial fpartial x = e^xl[cos(2x-3y)-2sin(2x-3y)r]
partial fpartial y = 3,e^xsin(2x-3y)
partial^2 fpartial xpartial y = 3,e^xl[sin(2x-3y)+2cos(2x-3y)r]

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