Considere a e.d.o. não homogênea y^prime prime+4 y^prime(t)+4 y(t)=f(t). Use o método dos coeficientes indeterminados para dar a forma da solução particular da e.d.o. nos seguintes casos (não precisa determinar o valor dos parâmetros), justifique:
f(t)=t^2+cos (pi t),

Passo 1

O enunciado é a e.d.o.
y'' + 4y' + 4y = f(t),
com f(t)=t^2 + cos(pi t).
Queremos, pelo método dos coeficientes indeterminados, propor a forma geral de uma solução particular yp(t), sem determinar os coeficientes.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da homogênea associada
y'' + 4y' + 4y = 0
A equação característica é
r^2 + 4r + 4 = 0 implies (r+2)^2 = 0,
ou seja, raiz dupla r=-2. Logo a solução homogênea é
yh(t) = C1e^-2t + C2,t,e^-2t
Como nenhum termo de f(t) é da forma e^-2t ou t,e^-2t, não há ressonância.

Passo 3

Para a parte polinomial t^2, o método pede um polinômio de mesmo grau. Como 0 não é raiz da característica, não multiplicamos por t. Logo propomos
yp1(t) = A,t^2 + B,t + C

Passo 4

Para cos(pi t), propomos combinação de cosseno e seno do mesmo argumento. Como pm ipi não coincidem com -2, não há ressonância, então
yp2(t) = Dcos(pi t) + Esin(pi t)

Passo 5

A solução particular total é a soma das duas propostas:
yp(t) = A,t^2 + B,t + C ;+; Dcos(pi t) + Esin(pi t),
onde A,B,C,D,E são constantes a determinar.

Resposta

A forma da solução particular é
yp(t) = A,t^2 + B,t + C + Dcos(pi t) + Esin(pi t)

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