Considere a e.d.o. não homogênea y^prime prime+4 y^prime(t)+4 y(t)=f(t). Use o método dos coeficientes indeterminados para dar a forma da solução particular da e.d.o. nos seguintes casos (não precisa determinar o valor dos parâmetros), justifique:
f(t)=3 e^-2 t.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial não homogênea
y'' + 4y' + 4y = f(t),
com f(t)=3e^-2t, e pede a forma da solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Primeiro determinamos a solução geral da homogênea associada
y'' + 4y' + 4y = 0
A equação característica é
r^2 + 4r + 4 = 0
cuja única raiz é
r = -2
de multiplicidade 2. Logo
yh(t) = C1 e^-2t + C2,t,e^-2t

Passo 3

No método dos coeficientes indeterminados, para uma força f(t)=P(t)e^rt em que r é raiz de multiplicidade m da característica, multiplicamos o ansatz habitual por t^m. Aqui P(t)=3 (polinômio de grau 0), r=-2 é raiz dupla ( m=2), logo propomos
yp(t) = A,t^2,e^-2t,
com A constante indeterminada.

Resposta

yp(t) = A,t^2,e^-2t

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