Resolva as EDOs via método de séries de potências:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o método de séries de potências. Basicamente, vamos encontrar uma solução para
escrita como uma série de potências em
. Para isso, precisamos entender como substituir a série na equação e igualar os coeficientes para achar os termos da série.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em 0:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Podemos reescrever isso mudando o índice de soma para facilitar:
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial original:
Vamos ajustar os índices para que ambos os somatórios tenham
:
Passo 5
Para igualar os potências de
, fazemos uma mudança de índice no segundo somatório:
Agora, ajustamos o segundo somatório para começar em
:
Observando que para
, os termos
não existem, podemos considerar
para esses casos.
Passo 6
Igualamos os coeficientes de cada potência de
a zero:
Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes:
Passo 7
Agora, usamos a relação de recorrência para encontrar os coeficientes. Vamos considerar os valores iniciais:
Para
:
Para
:
Para
:
E assim por diante. Observamos que os coeficientes ímpares são zero e os pares dependem de
.
Passo 8
Assumindo
como constante
, temos:
Portanto, os coeficientes não nulos formam uma série com termos de ordem ímpar a partir de
.
Passo 9
Finalmente, escrevemos a solução como uma série:
Essa série pode ser reconhecida como a expansão da função exponencial especial ou ser deixada na forma apresentada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
via método de séries de potências é:
onde
é uma constante arbitrária.