Resolva as EDOs via método de séries de potências:
y^prime-x^2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial y' - x^2 y = 0 usando o método de séries de potências. Basicamente, vamos encontrar uma solução para y escrita como uma série de potências em x . Para isso, precisamos entender como substituir a série na equação e igualar os coeficientes para achar os termos da série.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução y pode ser escrita como uma série de potências centrada em 0:
y(x) = sumn=0^infty an x^n
Aqui, an são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de y em relação a x :
y'(x) = sumn=0^infty an ddx x^n = sumn=0^infty an n x^n-1
Podemos reescrever isso mudando o índice de soma para facilitar:
y'(x) = sumn=1^infty an n x^n-1

Passo 4

Substituímos y e y' na equação diferencial original:
sumn=1^infty an n x^n-1 - x^2 sumn=0^infty an x^n = 0
Vamos ajustar os índices para que ambos os somatórios tenham x^n :
sumn=0^infty an+1 (n+1) x^n - sumn=0^infty an x^n+2 = 0

Passo 5

Para igualar os potências de x , fazemos uma mudança de índice no segundo somatório:
sumn=0^infty an+1 (n+1) x^n - sumn=2^infty an-2 x^n = 0
Agora, ajustamos o segundo somatório para começar em n=0 :
sumn=0^infty an+1 (n+1) x^n - sumn=0^infty an-2 x^n = 0
Observando que para n < 2 , os termos an-2 não existem, podemos considerar an-2 = 0 para esses casos.

Passo 6

Igualamos os coeficientes de cada potência de x a zero:
an+1 (n+1) - an-2 = 0 para todo n >= 0
Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes:
an+1 = an-2n+1

Passo 7

Agora, usamos a relação de recorrência para encontrar os coeficientes. Vamos considerar os valores iniciais:
Para n = 0 :
a1 = a-21 = 0 (pois a-2 não existe) ã
Para n = 1 :
a2 = a-12 = 0 (pois a-1 não existe) ã
Para n = 2 :
a3 = a03
E assim por diante. Observamos que os coeficientes ímpares são zero e os pares dependem de a0 .

Passo 8

Assumindo a0 como constante C , temos:
a3 = C3, a5 = a35 = C3 cdot 5, a7 = a57 = C3 cdot 5 cdot 7, etc
Portanto, os coeficientes não nulos formam uma série com termos de ordem ímpar a partir de x^3 .

Passo 9

Finalmente, escrevemos a solução como uma série:
y(x) = C (1 + x^33 + x^53 cdot 5 + x^73 cdot 5 cdot 7 + cdots )
Essa série pode ser reconhecida como a expansão da função exponencial especial ou ser deixada na forma apresentada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial y' - x^2 y = 0 via método de séries de potências é:
y(x) = C (1 + x^33 + x^515 + x^7105 + cdots )
onde C é uma constante arbitrária.

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