Determine a massa e o centro de massa do sólido dado E com função densidade dada rho. E é o cubo dado por 0 <= x <= 2,0 <= y <= 2,0 <= z <= & rho(x, y, z)=x^2+y^2+z^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente encontrar a massa e o centro de massa de um cubo E, onde a densidade é dada pela função rho(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração múltipla, pra calcular a massa e depois encontrar as coordenadas do centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa do cubo. A massa ( M) de um sólido com densidade variável é obtida integrando a função densidade sobre todo o volume do sólido. Ou seja:
M = integral triplaE rho(x, y, z) , dV
No nosso caso, rho(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 e o cubo E está definido por 0 <= x <= 2, 0 <= y <= 2, e 0 <= z <= 2.

Passo 3

Vamos configurar a integral tripla para a massa:
M = integral0^2 integral0^2 integral0^2 (x^2 + y^2 + z^2) , dx , dy , dz
Vamos resolver essa integral passo a passo, integrando primeiro em relação a x, depois y e finalmente z.

Passo 4

Primeiro, integramos a função x^2 + y^2 + z^2 em relação a x de 0 a 2:
integral0^2 (x^2 + y^2 + z^2) , dx = [ x^33 + y^2x + z^2x ]0^2 = 83 + 2y^2 + 2z^2

Passo 5

Agora, integramos o resultado anterior em relação a y de 0 a 2:
integral0^2 ( 83 + 2y^2 + 2z^2 ) , dy = 83 cdot 2 + 2 cdot 83 + 2z^2 cdot 2 = 163 + 163 + 4z^2 = 323 + 4z^2

Passo 6

Por fim, integramos o resultado em relação a z de 0 a 2:
integral0^2 ( 323 + 4z^2 ) , dz = 323 cdot 2 + 4 cdot 83 = 643 + 323 = 963 = 32

Passo 7

Agora que temos a massa, vamos calcular o centro de massa. As coordenadas do centro de massa são dadas por:
barx = 1M integral triplaE x rho(x, y, z) , dV
bary = 1M integral triplaE y rho(x, y, z) , dV
barz = 1M integral triplaE z rho(x, y, z) , dV
Vamos calcular cada uma dessas integrais.

Passo 8

Vamos calcular barx:
integral triplaE x (x^2 + y^2 + z^2) , dV = integral triplaE (x^3 + x y^2 + x z^2) , dV
Configurando a integral tripla:
integral0^2 integral0^2 integral0^2 (x^3 + x y^2 + x z^2) , dx , dy , dz
Resolvendo integrando primeiro em x:
[ x^44 + x^2 y^22 + x^2 z^22 ]0^2 = 164 + 4 y^22 + 4 z^22 = 4 + 2 y^2 + 2 z^2
Integrando em y:
integral0^2 (4 + 2 y^2 + 2 z^2) , dy = 4 cdot 2 + 2 cdot 83 + 2 z^2 cdot 2 = 8 + 163 + 4 z^2 = 403 + 4 z^2
Integrando em z:
integral0^2 ( 403 + 4 z^2 ) , dz = 403 cdot 2 + 4 cdot 83 = 803 + 323 = 1123
Então,
barx = 132 cdot 1123 = 11296 = 76 approx 1,1667

Passo 9

Devido à simetria do cubo e da função densidade, sabemos que bary = barx e barz = barx. Então:
bary = barz = 76 approx 1,1667

Resposta

A massa do cubo é 32 unidades de massa, e o centro de massa está localizado em (76, 76, 76), aproximadamente (1,1667, 1,1667, 1,1667).

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