Determine a massa e o centro de massa do sólido dado
com função densidade dada
.
é o cubo dado por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente encontrar a massa e o centro de massa de um cubo
, onde a densidade é dada pela função
. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração múltipla, pra calcular a massa e depois encontrar as coordenadas do centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa do cubo. A massa (
) de um sólido com densidade variável é obtida integrando a função densidade sobre todo o volume do sólido. Ou seja:
No nosso caso,
e o cubo
está definido por
,
, e
.
Passo 3
Vamos configurar a integral tripla para a massa:
Vamos resolver essa integral passo a passo, integrando primeiro em relação a
, depois
e finalmente
.
Passo 4
Primeiro, integramos a função
em relação a
de 0 a 2:
Passo 5
Agora, integramos o resultado anterior em relação a
de 0 a 2:
Passo 6
Por fim, integramos o resultado em relação a
de 0 a 2:
Passo 7
Agora que temos a massa, vamos calcular o centro de massa. As coordenadas do centro de massa são dadas por:
Vamos calcular cada uma dessas integrais.
Passo 8
Vamos calcular
:
Configurando a integral tripla:
Resolvendo integrando primeiro em
:
Integrando em
:
Integrando em
:
Então,
Passo 9
Devido à simetria do cubo e da função densidade, sabemos que
e
. Então:
Resposta
A massa do cubo é
unidades de massa, e o centro de massa está localizado em
, aproximadamente
.