Calcule a integral iterada.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada sobre o retângulo [0,1]times[1,2] da função f(x,y)=4x^3-9x^2y^2. O conteúdo é integração iterada e vamos precisar usar antiderivadas de monômios para integrar primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Para a integral interna em y, calculamos a antiderivada de cada termo em relação a y. Temos:
integral (4x^3-9x^2y^2),dy = integral 4x^3,dy - integral 9x^2y^2,dy = 4x^3y - 3x^2y^3
Agora, avaliamos essa expressão de y=1 até y=2:
$$\Bigl(4x^3\cdot2 - 3x2\cdot23\Bigr) - \Bigl(4x^3\cdot1 - 3x2\cdot13\Bigr)
= (8x^3 - 24x^2) - (4x^3 - 3x^2) = 4x^3 - 21x^2$$

Passo 3

A integral iterada passa a ser
integral0^1 (4x^3 - 21x^2),dx

Passo 4

Para essa integral em x, achamos a antiderivada:
integral (4x^3 - 21x^2),dx = x^4 - 7x^3
Por fim, avaliamos de x=0 a x=1:
(1^4 - 7cdot1^3) - (0^4 - 7cdot0^3) = 1 - 7 = -6

Resposta

-6

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