Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função
. O conteúdo envolvido é análise de funções trigonométricas (cosseno): domínio natural, amplitude, deslocamento vertical e período, que são fundamentais para desenhar o gráfico.
Passo 2
Para o domínio de
, lembramos que a função cosseno está definida para todo
. Logo,
Passo 3
Para a imagem (ou alcance), usamos que
varia em
. Multiplicando por 4 e somando 1 temos:
$$4\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\in[-4,4]
quad\Longrightarrow\n4\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)+1\in[-4+1,,4+1]=[-3,5].$$
Passo 4
A função é cossenoidal com amplitude
e deslocamento vertical de
. Para o período
, usamos condição
Passo 5
Para esboçar o gráfico: começamos em
onde
(máximo). Em
temos
(mínimo). Em
retorna ao máximo 5. Entre esses pontos traçamos a forma suave de uma cossenoide deslocada para cima.
O resultado é uma onda cossenoidal de período , amplitude
e centro em
, oscilando entre
e
.
No esboço, marque no eixo os pontos
com valores
,
,
, e ligue suavemente em forma de cosseno.
O resultado é uma onda cossenoidal de período
No esboço, marque no eixo
Resposta
Domínio:
; Imagem:
. Gráfico: cosseno de amplitude 4, deslocado +1 verticalmente, período
, com máximos em
e mínimos em
.