Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir:
g(x)=4 cos (x2)+1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função g(x)=4cosl(tfracx2r)+1. O conteúdo envolvido é análise de funções trigonométricas (cosseno): domínio natural, amplitude, deslocamento vertical e período, que são fundamentais para desenhar o gráfico.

Passo 2

Para o domínio de g(x), lembramos que a função cosseno está definida para todo xinR. Logo,
Domínio de g:(-infty,,infty)í

Passo 3

Para a imagem (ou alcance), usamos que costheta varia em [-1,1]. Multiplicando por 4 e somando 1 temos:
$$4\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\in[-4,4]
quad\Longrightarrow\n4\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)+1\in[-4+1,,4+1]=[-3,5].$$

Passo 4

A função é cossenoidal com amplitude A=4 e deslocamento vertical de +1. Para o período T, usamos condição
x+T2-x2=2pi Longrightarrow T2=2pi Longrightarrow T=4pi

Passo 5

Para esboçar o gráfico: começamos em x=0 onde g(0)=4cos0+1=5 (máximo). Em x=2pi temos g(2pi)=4cos(pi)+1=-3 (mínimo). Em x=4pi retorna ao máximo 5. Entre esses pontos traçamos a forma suave de uma cossenoide deslocada para cima.
O resultado é uma onda cossenoidal de período 4pi, amplitude 4 e centro em y=1, oscilando entre -3 e 5.
No esboço, marque no eixo x os pontos 0,2pi,4pi com valores g(0)=5, g(2pi)=-3, g(4pi)=5, e ligue suavemente em forma de cosseno.

Resposta

Domínio: ( -infty,infty ); Imagem: [-3,5]. Gráfico: cosseno de amplitude 4, deslocado +1 verticalmente, período 4pi, com máximos em g(0)=5, g(4pi)=5 e mínimos em g(2pi)=-3.

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