Calcule a integral iterada.
8. \int_{0}^{1} \int_{1}^{2} \frac{x e^{z}}{y} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\frac{x e^{z}}{y}\,dy\,dx.
Informações dadas: os limites externos são x\in[0,1] e os limites internos são y\in[1,2]. Note que aparece a expressão e^{z} com a variável z que não é integrada em nenhuma das integrais; portanto vou tratar z como uma constante parâmetro. A tarefa é calcular o valor desta integral em função de z.

Passo 2

Estratégia e ferramenta principal: quando a função integranda é produto de fatores que dependem separadamente de x e de y (ou quando há constantes que não dependem da variável de integração), podemos separar as integrais e puxar constantes para fora. Em particular, se tivermos uma função do tipo g(x)\,h(y) sobre um retângulo [a,b]\times[c,d], então
\int_{a}^{b}\int_{c}^{d} g(x)h(y)\,dy\,dx=\left(\int_{a}^{b} g(x)\,dx\right)\left(\int_{c}^{d} h(y)\,dy\right).
Aqui observe que e^{z} é constante (em relação a x e y), e a parte que depende de x é apenas x, enquanto a parte que depende de y é 1/y. Vou usar essa separação.

Passo 3

Puxando constantes e separando as integrais:
\int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\frac{x e^{z}}{y}\,dy\,dx = e^{z}\int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\frac{x}{y}\,dy\,dx.
Dentro da integral dupla, x não depende de y e \dfrac{1}{y} não depende de x, logo posso escrever
e^{z}\int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\frac{x}{y}\,dy\,dx = e^{z}\left(\int_{0}^{1} x\,dx\right)\left(\int_{1}^{2}\frac{1}{y}\,dy\right).
Essa manipulação é válida porque estamos integrando sobre um retângulo no plano xy e as funções separam.

Passo 4

Calcule a integral em x:
a integral básica a conhecer é que a primitiva de x é \dfrac{x^{2}}{2}, ou seja,
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.
Avaliada de 0 a 1,
\int_{0}^{1} x\,dx=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Calcule a integral em y:
a primitiva de \dfrac{1}{y} é o logaritmo natural \ln|y|, ou seja,
\int \frac{1}{y}\,dy=\ln|y|.
Como os limites estão em y=1 e y=2 (valores positivos), temos
\int_{1}^{2}\frac{1}{y}\,dy=\left.\ln|y|\right|_{1}^{2}=\ln 2-\ln 1=\ln 2,
pois \ln 1=0.

Passo 6

Agora combine os resultados obtidos:
e^{z}\left(\int_{0}^{1} x\,dx\right)\left(\int_{1}^{2}\frac{1}{y}\,dy\right) = e^{z}\left(\frac{1}{2}\right)\left(\ln 2\right).

Passo 7

Simplificando a expressão obtemos a resposta final em função de z:
\frac{e^{z}\ln 2}{2}.
Um checagem rápida: se z=0 (ou seja e^{z}=1), o valor fica \dfrac{\ln 2}{2}, o que faz sentido numericamente e serve como verificação simples.

Resposta

\dfrac{e^{z}\ln 2}{2}

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