Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
Aqui vou entender que o número complexo dado é
(ou seja, raiz de
multiplicada por
). O objetivo é calcular os valores (todas as ramificações) do logaritmo complexo desse número e escrever na forma pedida.
Passo 2
Primeiro, lembrando a definição útil do logaritmo complexo (aquela que vamos usar): para
,
onde
é o módulo de
e
é o argumento de
. O argumento é multi‑valorado: se
é um argumento qualquer de
, então todos os argumentos são
Portanto os valores de
são
onde
é um argumento particular de
. Vou explicar e calcular
e um argumento particular
para
.
Passo 3
Calcular o módulo
. Para um complexo
tem‑se
. Aqui
e
, logo
Ou seja, o módulo é
. Isso já explica a parte real
do resultado.
Passo 4
Agora o argumento. Para
com
uma forma prática é usar
Aqui
A equação
tem uma solução principal
. Mas atenção ao quadrante: temos
e
, portanto
está no segundo quadrante, não no quarto. Para ajustar o ângulo para o quadrante correto somamos
ao valor de referência: assim um argumento apropriado é
Então um argumento particular de
é
. Recordando a multi‑valoração,
Passo 5
Agora juntamos módulo e argumento na fórmula da logaritmo complexo:
Substituindo
e
obtemos
Fatorando
fica
que é exatamente a forma pedida.