Mostre que
\log (-1+\sqrt{3 i})=\ln (2)+2\left(m+\frac{1}{3}\right) \pi i, \quad(m \in z)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\log\!\big(-1+\sqrt{3}\,i\big)=\ln(2)+2\left(m+\frac{1}{3}\right)\pi i,\quad (m\in\mathbb{Z}).
Aqui vou entender que o número complexo dado é -1+\sqrt{3}\,i (ou seja, raiz de 3 multiplicada por i). O objetivo é calcular os valores (todas as ramificações) do logaritmo complexo desse número e escrever na forma pedida.

Passo 2

Primeiro, lembrando a definição útil do logaritmo complexo (aquela que vamos usar): para z\neq 0,
\log z = \ln|z| + i\Arg(z),
onde |z| é o módulo de z e \Arg(z) é o argumento de z. O argumento é multi‑valorado: se \theta é um argumento qualquer de z, então todos os argumentos são
\theta + 2\pi m,\quad m\in\mathbb{Z}.
Portanto os valores de \log z são
\log z = \ln|z| + i(\theta+2\pi m),\quad m\in\mathbb{Z},
onde \theta é um argumento particular de z. Vou explicar e calcular |z| e um argumento particular \theta para z=-1+\sqrt{3}\,i.

Passo 3

Calcular o módulo |z|. Para um complexo z=x+iy tem‑se |z|=\sqrt{x^2+y^2}. Aqui x=-1 e y=\sqrt{3}, logo
|{-1+\sqrt{3}\,i}|=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.
Ou seja, o módulo é 2. Isso já explica a parte real \ln(2) do resultado.

Passo 4

Agora o argumento. Para z=x+iy com x\neq 0 uma forma prática é usar
\tan(\theta)=\frac{y}{x}.
Aqui
\tan(\theta)=\frac{\sqrt{3}}{-1}=-\sqrt{3}.
A equação \tan(\theta)=-\sqrt{3} tem uma solução principal \theta=-\pi/3. Mas atenção ao quadrante: temos x=-1<0 e y=\sqrt{3}>0, portanto z está no segundo quadrante, não no quarto. Para ajustar o ângulo para o quadrante correto somamos \pi ao valor de referência: assim um argumento apropriado é
\theta = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}.
Então um argumento particular de z é \theta=\tfrac{2\pi}{3}. Recordando a multi‑valoração,
\Arg(z)=\frac{2\pi}{3}+2\pi m,\quad m\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Agora juntamos módulo e argumento na fórmula da logaritmo complexo:
\log\!\big(-1+\sqrt{3}\,i\big)=\ln|{-1+\sqrt{3}\,i}|+i\Arg\big(-1+\sqrt{3}\,i\big).
Substituindo |z|=2 e \Arg(z)=\tfrac{2\pi}{3}+2\pi m obtemos
\log\!\big(-1+\sqrt{3}\,i\big)=\ln(2)+i\left(\frac{2\pi}{3}+2\pi m\right).
Fatorando 2\pi fica
\log\!\big(-1+\sqrt{3}\,i\big)=\ln(2)+2\pi i\left(m+\frac{1}{3}\right),\quad m\in\mathbb{Z},
que é exatamente a forma pedida.

Resposta

\ln(2)+2\left(m+\dfrac{1}{3}\right)\pi i,\quad (m\in\mathbb{Z})

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