Calcule a integral dupla.
21. \iint_{R} x y e^{x^{2}} d A, \quad R=[0,1] \times[0,2]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x y e^{x^{2}}\,dA,
onde R = [0,1]\times[0,2].\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n
  • A região R é o retângulo com x variando de 0 a 1 e y variando de 0 a 2.\n
  • A função a ser integrada é x y e^{x^{2}}.\n
  • O objetivo é calcular o valor numérico da integral dupla sobre R.

Passo 2

Observação sobre continuidade e troca de ordem: a função (x,y)\mapsto x y e^{x^{2}} é contínua em todo o retângulo R (pois é produto de polinômios e exponencial, que são contínuos). Pelo Teorema de Fubini, para funções contínuas em um retângulo podemos calcular a integral dupla como integral iterada e podemos trocar a ordem de integração. Em palavras simples: dá para integrar primeiro em x e depois em y, ou vice‑versa, sem problemas.

Passo 3

Veja que o integrando é produto de uma função de x por uma função de y:
x y e^{x^{2}} = \bigl(x e^{x^{2}}\bigr)\cdot y.
Quando a função se separa assim e a região é um retângulo, a integral dupla se separa em produto de integrais simples:
\iint_{R} x y e^{x^{2}}\,dA = \left(\int_{0}^{1} x e^{x^{2}}\,dx\right)\left(\int_{0}^{2} y\,dy\right).
Isto vem de aplicar Fubini e fatorar o que depende só de x do que depende só de y.

Passo 4

Calcule \displaystyle \int_{0}^{2} y\,dy. A primitiva de y é \dfrac{y^{2}}{2}. Avaliando nos limites:
\int_{0}^{2} y\,dy = \left.\dfrac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{2} = \dfrac{2^{2}}{2}-\dfrac{0^{2}}{2} = \dfrac{4}{2}=2.

Passo 5

Calcule \displaystyle \int_{0}^{1} x e^{x^{2}}\,dx usando substituição (método muito comum quando aparece x e^{x^{2}}).\n
Faça u = x^{2}. Então du = 2x\,dx, ou equivalentemente x\,dx = \dfrac{du}{2}.\n
Troque os limites: quando x=0 temos u=0; quando x=1 temos u=1.\n
A integral transforma-se em
\int_{0}^{1} x e^{x^{2}}\,dx = \int_{u=0}^{u=1} e^{u}\cdot \dfrac{du}{2} = \dfrac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{u}\,du.
A primitiva de e^{u} é e^{u}, portanto
\dfrac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{u}\,du = \dfrac{1}{2}\left.\!e^{u}\right|_{0}^{1} = \dfrac{1}{2}\bigl(e^{1}-e^{0}\bigr) = \dfrac{1}{2}(e-1).

Passo 6

Multiplique os dois resultados obtidos nos passos anteriores:
\iint_{R} x y e^{x^{2}}\,dA = \left(\int_{0}^{1} x e^{x^{2}}\,dx\right)\left(\int_{0}^{2} y\,dy\right) = \left(\dfrac{1}{2}(e-1)\right)\cdot 2.
Simplificando:
\left(\dfrac{1}{2}(e-1)\right)\cdot 2 = e-1.

Resposta

e-1

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