Encontre a solução geral para a equação para
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial para
Informações dadas:
- A equação é linear homogênea de segunda ordem com coeficientes dependentes de
. - O domínio de interesse é
. - Queremos a solução geral
(com constantes arbitrárias).
Passo 2
Escolhendo o método (explicação didática): esta equação tem a forma característica de uma equação de Euler–Cauchy (os coeficientes são potências de
). A técnica típica é tentar uma solução do tipo
(ou, quando
, usar
) porque derivadas de potências de
produzem fatores que tornam a equação em um polinômio em
. Vou explicar essa técnica passo a passo.
Passo 3
Teste a forma
. Calculamos as derivadas (aqui
é um número complexo possível; explico depois):
Substituindo na equação dada obtemos (fatorando
):
Portanto a condição para obter uma solução não trivial é que o coeficiente entre parênteses seja zero.
Passo 4
Formamos a equação característica (indicial):
Faço a simplificação:
Então precisamos resolver
Passo 5
Resolva a equação quadrática: as raízes são
Ou seja, as raízes são complexas conjugadas com parte real
e parte imaginária
.
Passo 6
Regra para raízes complexas em equação de Euler–Cauchy: se as raízes são
, então uma base de soluções reais é
válido para
. Aqui
e
, então, para
, teríamos
Passo 7
Ajuste para
: como o enunciado pede solução para
, devemos usar
em vez de
(pois
não está definido para
). A forma geral para
fica usando
e
:
Note que
, então
Passo 8
Ajuste final de constantes: como
e
são constantes arbitrárias, posso definir
e
. Assim a solução pode ser escrita como
que é totalmente equivalente à forma anterior e é bem definida para
.