Encontre a solução geral para a equação para t<0
y^{\prime \prime}(t)-\frac{1}{t} y^{\prime}(t)+\frac{5}{t^{2}} y(t)=0
Escolha uma opção:
\bigcirc a. \quad c_{1} t^{2} \cos [\ln (-t)]+c_{2} t \sin [\ln (-t)]
\bigcirc b. c_{1} t^{2} \cos [-t]+c_{2} t \sin [-t]
\bigcirc c. c_{1} t \cos [2 \ln (-t)]+c_{2} t \sin [2 \ln (-t)]
\bigcirc d. c_{1} t \cos [-2 t]+c_{2} t \sin [-2 t]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial para t<0
y^{\prime\prime}(t)-\frac{1}{t}y^{\prime}(t)+\frac{5}{t^{2}}y(t)=0.
Informações dadas:
  • A equação é linear homogênea de segunda ordem com coeficientes dependentes de t.
  • O domínio de interesse é t<0.
  • Queremos a solução geral y(t) (com constantes arbitrárias).

Passo 2

Escolhendo o método (explicação didática): esta equação tem a forma característica de uma equação de Euler–Cauchy (os coeficientes são potências de t). A técnica típica é tentar uma solução do tipo y(t)=t^{r} (ou, quando t<0, usar (-t)^{r}) porque derivadas de potências de t produzem fatores que tornam a equação em um polinômio em r. Vou explicar essa técnica passo a passo.

Passo 3

Teste a forma y(t)=t^{r}. Calculamos as derivadas (aqui r é um número complexo possível; explico depois):
y(t)=t^{r},\qquad y^{\prime}(t)=r t^{r-1},\qquad y^{\prime\prime}(t)=r(r-1)t^{r-2}.
Substituindo na equação dada obtemos (fatorando t^{r-2}):
r(r-1)t^{r-2}-\frac{1}{t}\,r t^{r-1}+\frac{5}{t^{2}}t^{r}=t^{r-2}\bigl(r(r-1)-r+5\bigr).
Portanto a condição para obter uma solução não trivial é que o coeficiente entre parênteses seja zero.

Passo 4

Formamos a equação característica (indicial):
r(r-1)-r+5=0.
Faço a simplificação:
r(r-1)-r+5 = r^{2}-r-r+5 = r^{2}-2r+5.
Então precisamos resolver
r^{2}-2r+5=0.

Passo 5

Resolva a equação quadrática: as raízes são
r=\frac{2\pm\sqrt{(-16)}}{2}=\frac{2\pm 4\mathrm{i}}{2}=1\pm 2\mathrm{i}.
Ou seja, as raízes são complexas conjugadas com parte real \alpha=1 e parte imaginária \beta=2.

Passo 6

Regra para raízes complexas em equação de Euler–Cauchy: se as raízes são r=\alpha\pm \mathrm{i}\beta, então uma base de soluções reais é
y_{1}(t)=t^{\alpha}\cos\bigl(\beta\ln t\bigr),\qquad y_{2}(t)=t^{\alpha}\sin\bigl(\beta\ln t\bigr),
válido para t>0. Aqui \alpha=1 e \beta=2, então, para t>0, teríamos
y(t)=t^{1}\bigl(C_{1}\cos(2\ln t)+C_{2}\sin(2\ln t)\bigr).

Passo 7

Ajuste para t<0: como o enunciado pede solução para t<0, devemos usar \ln(-t) em vez de \ln t (pois \ln t não está definido para t<0). A forma geral para t<0 fica usando (-t)^{\alpha} e \ln(-t):
y(t)=(-t)^{1}\bigl(A\cos(2\ln(-t))+B\sin(2\ln(-t))\bigr).
Note que (-t)^{1}=-t, então
y(t)=-t\bigl(A\cos(2\ln(-t))+B\sin(2\ln(-t))\bigr).

Passo 8

Ajuste final de constantes: como A e B são constantes arbitrárias, posso definir c_{1}=-A e c_{2}=-B. Assim a solução pode ser escrita como
y(t)=t\bigl(c_{1}\cos(2\ln(-t))+c_{2}\sin(2\ln(-t))\bigr),
que é totalmente equivalente à forma anterior e é bem definida para t<0.

Resposta

\displaystyle c_{1} t \cos\bigl(2\ln(-t)\bigr)+c_{2} t \sin\bigl(2\ln(-t)\bigr)

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