Calcule a integral iterada abaixo:

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla iterada
integral0^raizpi integral0^x integral0^x z x^2 sin y , dy , dz , dx
Aqui vamos integrar sucessivamente em y, depois em z e por fim em x, usando integrais básicas e mudanças de variável.

Passo 2

Integramos primeiro em y. Como x^2 é constante em relação a y,
integral0^xz x^2 sin y , dy = x^2,l[-cos yr]0^xz = x^2l(1 - cos(xz)r)

Passo 3

Agora integramos em z:
integral0^x x^2l(1 - cos(xz)r),dz = x^2integral0^xl(1 - cos(xz)r),dz
Para integral0^xcos(xz),dz fazemos u = xz, du = x,dz, obtendo
integral0^xcos(xz),dz = 1xintegral0^x^2cos u,du = sin(x^2)x
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integral0^xl(1 - cos(xz)r),dz = x - sin(x^2)x,
e multiplicando por x^2
x^3 - x,sin(x^2)

Passo 4

Por fim, resta integrar em x:
integral0^raizpil(x^3 - x,sin(x^2)r),dx = integral0^raizpix^3,dx - integral0^raizpix,sin(x^2),dx
A primeira integral é
integral0^raizpix^3,dx = l[tfracx^44r]0^raizpi = pi^24
Na segunda, use t = x^2, dt = 2x,dx:
integral0^raizpix,sin(x^2),dx = 12integral0^pisin t,dt = 12l[-cos tr]0^pi = 1
Juntando, o valor da integral é
pi^24 - 1

Resposta

pi^24 - 1

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