Considerando a regiāo R=[0,3] times[0,2], calcule a integral dupla abaixo:
integral duplaR y e^-x y d A

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR y,e^-x y,dA
sobre o retângulo R = [0,3]times[0,2]. O conteúdo necessário é transformar essa integral dupla em uma integral iterada, escolhendo uma ordem de integração (aqui vamos integrar primeiro em x e depois em y).

Passo 2

Escrevemos a integral iterada fixando y e integrando em x:
integral duplaR y,e^-x y,dA =integraly=0^2l(integralx=0^3y,e^-x y,dxr)dy
No interno y é constante, então
integral0^3y,e^-x y,dx =yintegral0^3e^-y x,dx =yl[-1ye^-y xr]0^3 =-l(e^-3y-1r) =1-e^-3y

Passo 3

Agora integraremos em y:
integral0^2l(1-e^-3yr),dy =integral0^21,dy-integral0^2e^-3y,dy
A primeira parte é y|0^2=2. Para a segunda,
integral0^2e^-3y,dy =l[-tfrac13e^-3yr]0^2 =-tfrac13l(e^-6-1r) =tfrac13l(1-e^-6r)
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integral0^2l(1-e^-3yr),dy =2-tfrac13l(1-e^-6r) =tfrac53+tfrace^-63

Resposta

integral duplaRy,e^-x y,dA =5+e^-63

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