Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
y^prime prime-2 y^prime+y=16-3 e^x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' - 2y' + y = 16 - 3e^x,
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método de resolver primeiro a homogênea associada e depois encontrar uma solução particular por coeficientes a determinar.

Passo 2

Resolver a equação homogênea
y'' - 2y' + y = 0
Assumimos uma solução do tipo yh=e^rx. Substituindo:
r^2 - 2r + 1 = 0,
cuja raiz dupla é r=1. Logo,
yh(x) = C1 e^x + C2 x e^x

Passo 3

Procurar uma solução particular para o termo constante 16. Como o termo é constante, assumimos
yp1 = A
Substituindo em y''-2y'+y obtemos
A = 16
logo A=16. Assim,
yp1 = 16

Passo 4

Para o termo -3e^x, como e^x já aparece na solução homogênea com multiplicidade 2, multiplicamos o chute básico por x^2. Assim,
yp2 = B,x^2 e^x
Calculando derivadas e substituindo em
y'' - 2y' + y = -3e^x
resulta em
2B e^x = -3e^x Longrightarrow B = -tfrac32
Portanto,
yp2 = -tfrac32,x^2 e^x

Passo 5

A solução particular completa é
yp = yp1 + yp2 = 16 - tfrac32x^2 e^x
Logo, a solução geral da EDO é
y(x) = yh + yp = C1 e^x + C2 x e^x + 16 - tfrac32x^2 e^x

Resposta

y(x) = C1 e^x + C2 x e^x + 16 - tfrac32x^2 e^x

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