Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método de resolver primeiro a homogênea associada e depois encontrar uma solução particular por coeficientes a determinar.
Passo 2
Resolver a equação homogênea
Assumimos uma solução do tipo
. Substituindo:
cuja raiz dupla é
. Logo,
Passo 3
Procurar uma solução particular para o termo constante
. Como o termo é constante, assumimos
Substituindo em
obtemos
logo
. Assim,
Passo 4
Para o termo
, como
já aparece na solução homogênea com multiplicidade 2, multiplicamos o chute básico por
. Assim,
Calculando derivadas e substituindo em
resulta em
Portanto,
Passo 5
A solução particular completa é
Logo, a solução geral da EDO é