\int_{0}^{2} \int_{-1}^{1} \int_{1}^{3} x^{2}-2 y d z d x d y
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada abaixo, com a ordem de integração explícita nos diferenciais:
\int_{0}^{2} \int_{-1}^{1} \int_{1}^{3} x^{2}-2 y \; d z \; d x \; d y.
Informações dadas e o que é pedido:
A integranda é \,x^{2}-2y\,.
Os limites de integração são:
z varia de \,1 até \,3 (integral interna).
x varia de -1 até 1 (integral do meio).
y varia de 0 até 2 (integral externa).
A ordem de integração é \,dz então \,dx então \,dy.
Objetivo: calcular o valor numérico da integral tripla fornecida.
Passo 2
Entendendo uma propriedade útil: se uma função não depende de uma das variáveis de integração, ao integrar sobre essa variável basta multiplicar pela largura do intervalo. Mais formalmente, se f(x,y) não depende de z, então
\int_{a}^{b} f(x,y)\,dz = f(x,y)\,(b-a).
No nosso caso a integranda x^{2}-2y não depende de z. Portanto podemos calcular a integral interna \int_{1}^{3} x^{2}-2y \;dz aplicando essa propriedade.
Passo 3
Aplicando diretamente a propriedade do passo anterior: