Calcule a integral iterada abaixo.
\int_{0}^{2} \int_{-1}^{1} \int_{1}^{3} x^{2}-2 y d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada abaixo, com a ordem de integração explícita nos diferenciais:
\int_{0}^{2} \int_{-1}^{1} \int_{1}^{3} x^{2}-2 y \; d z \; d x \; d y.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A integranda é \,x^{2}-2y\,.
  • Os limites de integração são:
    • z varia de \,1 até \,3 (integral interna).
    • x varia de -1 até 1 (integral do meio).
    • y varia de 0 até 2 (integral externa).
  • A ordem de integração é \,dz então \,dx então \,dy.
  • Objetivo: calcular o valor numérico da integral tripla fornecida.

Passo 2

Entendendo uma propriedade útil: se uma função não depende de uma das variáveis de integração, ao integrar sobre essa variável basta multiplicar pela largura do intervalo. Mais formalmente, se f(x,y) não depende de z, então
\int_{a}^{b} f(x,y)\,dz = f(x,y)\,(b-a).
No nosso caso a integranda x^{2}-2y não depende de z. Portanto podemos calcular a integral interna \int_{1}^{3} x^{2}-2y \;dz aplicando essa propriedade.

Passo 3

Aplicando diretamente a propriedade do passo anterior:
\int_{1}^{3} x^{2}-2y \;dz = (x^{2}-2y)\,(3-1) = 2(x^{2}-2y).
Explicando: multiplicou-se a expressão que não depende de z pelo comprimento do intervalo de z, que é 3-1=2.

Passo 4

Agora substituímos o resultado da integração em z e passamos à integral em x:
\int_{-1}^{1} 2(x^{2}-2y)\;dx = 2\int_{-1}^{1} x^{2}\;dx - 4y\int_{-1}^{1} 1\;dx.
Aqui usei a linearidade da integral: \int (A+B)\,dx = \int A\,dx + \int B\,dx e a regra \int c\cdot g(x)\,dx = c\int g(x)\,dx para constantes c.

Passo 5

Calculemos as duas integrais simples:
  • Para \int_{-1}^{1} x^{2}\;dx usamos a primitiva \dfrac{x^{3}}{3}. Então
\int_{-1}^{1} x^{2}\;dx = \left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{-1}^{1} = \frac{1^{3}-(-1)^{3}}{3} = \frac{1-(-1)}{3} = \frac{2}{3}.
  • Para \int_{-1}^{1} 1\;dx é simplesmente o comprimento do intervalo:
\int_{-1}^{1} 1\;dx = 1 - (-1) = 2.

Passo 6

Substituindo esses valores em \int_{-1}^{1} 2(x^{2}-2y)\;dx:
2\cdot\frac{2}{3} - 4y\cdot 2 = \frac{4}{3} - 8y.
Portanto, após integrar sobre z e x, a expressão reduz-se a uma função de y:
\int_{-1}^{1}\int_{1}^{3} x^{2}-2y \;dz\;dx = \frac{4}{3} - 8y.

Passo 7

Agora fazemos a integral externa em y de 0 a 2:
\int_{0}^{2} \left(\frac{4}{3}-8y\right)\;dy.
Calculemos cada termo separadamente usando primitivas:
  • Primitiva de \dfrac{4}{3} em y é \dfrac{4}{3}y.
  • Primitiva de -8y em y é -4y^{2}.
Portanto a primitiva total é \dfrac{4}{3}y - 4y^{2}.

Passo 8

Avaliação entre os limites 0 e 2:
\left.\left(\frac{4}{3}y - 4y^{2}\right)\right|_{0}^{2} = \left(\frac{4}{3}\cdot 2 - 4\cdot 2^{2}\right) - 0 = \frac{8}{3} - 16.
Colocando em uma única fração:
\frac{8}{3} - 16 = \frac{8 - 48}{3} = -\frac{40}{3}.

Resposta

-\dfrac{40}{3}

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