Calcule o volume do sólido delimitado inferior e superiormente pelos planos z=3-\frac{y}{2} e z=5, respectivamente, e lateralmente pelo cilindro vertical que contorna a região R limitadas pelas curvas y=x^{2} e y= x+2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que, verticalmente, está entre as superfícies \,z=3-\dfrac{y}{2}\, (inferior) e \,z=5\, (superior), e lateralmente é contido no cilindro vertical acima da região plana R limitada pelas curvas \,y=x^{2}\, e \,y=x+2.
Informações dadas e perguntas claras:
  • As superfícies que limitam o sólido em z são \,z_{\text{inf}}(x,y)=3-\dfrac{y}{2}\, e \,z_{\text{sup}}(x,y)=5.
  • A região de projeção no plano xy é R, a região limitada pelas curvas \,y=x^{2}\, e \,y=x+2.
  • Precisamos calcular o volume do sólido delimitado por essas superfícies e pela parede lateral vertical sobre R.

Passo 2

Primeiro identificamos a região R encontrando os pontos de interseção das curvas \,y=x^{2}\, e \,y=x+2.
Resolver \,x^{2}=x+2\, leva a
x^{2}-x-2=0 \quad\Rightarrow\quad (x-2)(x+1)=0,
portanto \,x=-1\, e \,x=2\,. Assim R está entre x=-1 e x=2, e, para cada x nessa faixa, a curva superior em y é \,y=x+2\, e a inferior é \,y=x^{2}\, (verificação rápida: em x=0, x+2=2>0=x^{2}, logo a reta fica acima da parábola).

Passo 3

Teoria necessária (passo de “aula rápida”):
  • O volume de um sólido que se situa entre duas superfícies z=g(x,y) (superior) e z=f(x,y) (inferior) sobre uma região planar R é dado por
V=\iint_{R}\bigl(g(x,y)-f(x,y)\bigr)\,dA.
Aqui dA é o elemento de área no plano xy (em coordenadas cartesianas dA=dx\,dy ou dy\,dx). No nosso caso g(x,y)=5 e f(x,y)=3-\dfrac{y}{2}, então a altura em cada ponto (x,y) é
g-f=5-\Bigl(3-\dfrac{y}{2}\Bigr)=2+\dfrac{y}{2}.

Passo 4

Montamos a integral dupla em ordem dy\,dx (porque já temos y entre funções de x):
V=\int_{x=-1}^{2}\int_{y=x^{2}}^{\,y=x+2}\Bigl(2+\dfrac{y}{2}\Bigr)\,dy\,dx.
Explicando: para cada x\in[-1,2] integramos em y de y=x^{2} até y=x+2 a função altura 2+\dfrac{y}{2}, e depois somamos (integramos) sobre x.

Passo 5

Calculamos a integral interna em y. Antiderivada de 2+\dfrac{y}{2} em y é 2y+\dfrac{y^{2}}{4}. Assim,
\int_{y=x^{2}}^{x+2}\Bigl(2+\dfrac{y}{2}\Bigr)\,dy =\Bigl[\,2y+\dfrac{y^{2}}{4}\,\Bigr]_{y=x^{2}}^{y=x+2}.
Agora avaliamos nos limites:
\Bigl(2(x+2)+\dfrac{(x+2)^{2}}{4}\Bigr)-\Bigl(2x^{2}+\dfrac{x^{4}}{4}\Bigr).

Passo 6

Simplificamos a expressão obtida no passo anterior (cada termo em TeX):
Calcule primeiro o valor em y=x+2:
2(x+2)+\dfrac{(x+2)^{2}}{4}=2x+4+\dfrac{x^{2}+4x+4}{4} = \dfrac{x^{2}}{4}+3x+5.
Calcule em y=x^{2}:
2x^{2}+\dfrac{x^{4}}{4}.
Subtraindo:
\Bigl(\dfrac{x^{2}}{4}+3x+5\Bigr)-\Bigl(2x^{2}+\dfrac{x^{4}}{4}\Bigr) = -\dfrac{x^{4}}{4}-\dfrac{7x^{2}}{4}+3x+5.
Portanto a integral em x fica
V=\int_{-1}^{2}\Bigl(-\dfrac{x^{4}}{4}-\dfrac{7x^{2}}{4}+3x+5\Bigr)\,dx.

Passo 7

Integramos termo a termo. Uma primitiva é
\int\Bigl(-\dfrac{x^{4}}{4}-\dfrac{7x^{2}}{4}+3x+5\Bigr)\,dx = -\dfrac{x^{5}}{20}-\dfrac{7x^{3}}{12}+\dfrac{3x^{2}}{2}+5x + C.

Passo 8

Avaliar entre x=-1 e x=2.
Primeiro em x=2:
-\dfrac{2^{5}}{20}-\dfrac{7\cdot 2^{3}}{12}+\dfrac{3\cdot 2^{2}}{2}+5\cdot 2 = -\dfrac{32}{20}-\dfrac{56}{12}+6+10 = \dfrac{146}{15}.
Depois em x=-1:
-\dfrac{(-1)^{5}}{20}-\dfrac{7(-1)^{3}}{12}+\dfrac{3(-1)^{2}}{2}+5(-1) = \dfrac{1}{20}+\dfrac{7}{12}+\dfrac{3}{2}-5 = -\dfrac{43}{15}.
Agora subtrair:
V=\dfrac{146}{15}-\Bigl(-\dfrac{43}{15}\Bigr)=\dfrac{189}{15}=\dfrac{63}{5}.

Passo 9

Interpretação final e incentivo: o volume do sólido é \dfrac{63}{5}. Bom trabalho por chegar até aqui — separar a região R, montar a integral \iint_{R}(z_{\text{sup}}-z_{\text{inf}})\,dA e integrar passo a passo é a técnica padrão para esses problemas; com prática isso fica cada vez mais automático. Vai dar certo na prova!

Resposta

\dfrac{63}{5}

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