Calcule o volume do sólido delimitado inferior e superiormente pelos planos
e
, respectivamente, e lateralmente pelo cilindro vertical que contorna a região
limitadas pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que, verticalmente, está entre as superfícies
(inferior) e
(superior), e lateralmente é contido no cilindro vertical acima da região plana
limitada pelas curvas
e
.
Informações dadas e perguntas claras:
- As superfícies que limitam o sólido em
são e . - A região de projeção no plano
é , a região limitada pelas curvas e . - Precisamos calcular o volume do sólido delimitado por essas superfícies e pela parede lateral vertical sobre
.
Passo 2
Primeiro identificamos a região
encontrando os pontos de interseção das curvas
e
.
Resolver
leva a
portanto
e
. Assim
está entre
e
, e, para cada
nessa faixa, a curva superior em
é
e a inferior é
(verificação rápida: em
,
, logo a reta fica acima da parábola).
Passo 3
Teoria necessária (passo de “aula rápida”):
- O volume de um sólido que se situa entre duas superfícies
(superior) e (inferior) sobre uma região planar é dado por
Aqui
é o elemento de área no plano
(em coordenadas cartesianas
ou
). No nosso caso
e
, então a altura em cada ponto
é
Passo 4
Montamos a integral dupla em ordem
(porque já temos
entre funções de
):
Explicando: para cada
integramos em
de
até
a função altura
, e depois somamos (integramos) sobre
.
Passo 5
Calculamos a integral interna em
. Antiderivada de
em
é
. Assim,
Agora avaliamos nos limites:
Passo 6
Simplificamos a expressão obtida no passo anterior (cada termo em TeX):
Calcule primeiro o valor em
:
Calcule em
:
Subtraindo:
Portanto a integral em
fica
Passo 7
Integramos termo a termo. Uma primitiva é
Passo 8
Avaliar entre
e
.
Primeiro em
:
Depois em
:
Agora subtrair:
Passo 9
Interpretação final e incentivo: o volume do sólido é
. Bom trabalho por chegar até aqui — separar a região
, montar a integral
e integrar passo a passo é a técnica padrão para esses problemas; com prática isso fica cada vez mais automático. Vai dar certo na prova!