Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
integral0^3 integral0^raiz9-x^2 sen(x^2+y^2) d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^3integral0^raiz9-x^2sinl(x^2+y^2r),dy,dx
convertendo-a para coordenadas polares. O conteúdo envolvido é mudança de variáveis em integrais múltiplas e uso de x=rcostheta, y=rsintheta.

Passo 2

Descrevemos a região de integração no plano xy. Como 0<= x<=3 e 0<= y<=raiz9-x^2, obtemos um quarto de disco de raio 3 no primeiro quadrante. Em coordenadas polares isso equivale a
0<= r<=3, 0<=theta<=pi2

Passo 3

Na mudança para polares usamos x^2+y^2=r^2 e o fator de escala dx,dy = r,dr,dtheta. A integral fica
integraltheta=0^pi/2integralr=0^3sinl(r^2r);r,dr,dtheta

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em r. Fazendo u=r^2, temos du=2r,dr ou r,dr = tfrac12,du. Assim,
integralr=0^3sinl(r^2r),r,dr = 12integralu=0^9sin(u),du = 12l[-cos(u)r]0^9 = 12l(1-cos(9)r)

Passo 5

Agora integramos em theta:
integral0^pi/212l(1-cos(9)r),dtheta = 12l(1-cos(9)r)cdot[theta]0^pi/2 = 12l(1-cos(9)r)cdotpi2 = pi4l(1-cos(9)r)

Resposta

pi4l(1-cos(9)r)

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