1. sumk=1^infty (-1)^kk(k+1) x^k

Passo 1

O enunciado pede a soma da série de potências
S(x)=sumk=1^infty(-1)^kk(k+1),x^k.
O conteúdo é soma de séries de potências e vamos usar fração parcial em k e a expansão
ln(1+z)=sumk=1^infty(-1)^k-1z^kk

Passo 2

Escrevemos a fração parcial em k:
1k(k+1)=1k-1k+1
Então
S(x) =sumk=1^infty(-1)^k x^kl(1k-1k+1r) =underbracesumk=1^infty(-1)^k x^kkS1(x) -underbracesumk=1^infty(-1)^k x^kk+1S2(x)

Passo 3

Para
S1(x)=sumk=1^infty(-1)^k x^kk,
usamos
ln(1+x)=sumk=1^infty(-1)^k-1x^kk,
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S1(x) =-sumk=1^infty(-1)^k-1x^kk =-ln(1+x)

Passo 4

Para
S2(x)=sumk=1^infty(-1)^k x^kk+1,
fazemos j=k+1, obtendo
S2(x) =sumj=2^infty(-1)^,j-1x^,j-1j =1xsumj=2^infty(-1)^j-1x^jj =1xl(sumj=1^infty(-1)^j-1x^jj-xr)
Como sumj=1^infty(-1)^j-1x^jj=ln(1+x),
S2(x)=ln(1+x)-xx

Passo 5

Finalmente
S(x)=S1(x)-S2(x) =-ln(1+x)-ln(1+x)-xx =1-x+1x,ln(1+x)

Resposta

boxed,sumk=1^infty(-1)^kk(k+1),x^k =1-x+1x,ln(1+x),

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