Em cada um dos itens abaixo, determine se a série converge ou diverge. Você vai perceber que, em alguns casos, mais de um teste pode ser utilizado.
sumn=1^infty e^n1+e^2 n

Passo 1

Temos a série sumn=1^infty e^n1+e^2n. O conteúdo aqui é testes de convergência de séries numéricas; vamos usar o teste da comparação e lembrar que séries geométricas com razão menor que 1 convergem.

Passo 2

Observamos que para todo n vale 1+e^2n>= e^2n. Assim,

Passo 3

e^n1+e^2n<=e^ne^2n=e^-n

Passo 4

Sabemos que sumn=1^inftye^-n é uma série geométrica de razão e^-1<1 e, portanto, converge.

Passo 5

Pelo teste da comparação, como 0<=tfrace^n1+e^2n<= e^-n e sum e^-n converge, concluímos que a série dada também converge.

Resposta

A série sumn=1^inftye^n1+e^2n converge, por comparação com a série geométrica sum e^-n.

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