Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
\int_{0}^{a} \int_{-\sqrt{a^{2}-y^{2}}}^{0} x^{2} y d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{a}\int_{-\sqrt{a^{2}-y^{2}}}^{0}x^{2}y\,dx\,dy
usando coordenadas polares. O conteúdo envolve mudança de variáveis em integrais duplas: precisamos descrever a região de integração em termos de r e \theta, substituir x, y e dx\,dy pelas expressões polares e calcular.

Passo 2

A região D é dada por
0\le y\le a,\quad -\sqrt{a^{2}-y^{2}}\le x\le 0.
Isto corresponde ao quarto de disco de raio a no segundo quadrante. Em coordenadas polares:
0\le r\le a,\quad \frac{\pi}{2}\le \theta\le \pi.

Passo 3

Em coordenadas polares temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Logo
x^{2}y = (r\cos\theta)^{2}(r\sin\theta) = r^{3}\cos^{2}\theta\,\sin\theta,
e o elemento de área adiciona mais um fator r, de modo que o integrando fica
r^{3}\cos^{2}\theta\,\sin\theta \;\times\; r = r^{4}\cos^{2}\theta\,\sin\theta.

Passo 4

A integral em polares separa-se em parte radial e parte angular:
\int_{\theta=\pi/2}^{\pi}\int_{r=0}^{a}r^{4}\cos^{2}\theta\,\sin\theta\,dr\,d\theta = \Bigl(\int_{0}^{a}r^{4}\,dr\Bigr) \Bigl(\int_{\pi/2}^{\pi}\cos^{2}\theta\,\sin\theta\,d\theta\Bigr).
Calcule a parte radial:
\int_{0}^{a}r^{4}\,dr = \left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{a} = \frac{a^{5}}{5}.

Passo 5

Calcule a parte angular com u=\cos\theta, du=-\sin\theta\,d\theta.
Quando \theta=\pi/2, u=0; quando \theta=\pi, u=-1. Então
\int_{\pi/2}^{\pi}\cos^{2}\theta\,\sin\theta\,d\theta = -\int_{0}^{-1}u^{2}\,du = \int_{-1}^{0}u^{2}\,du = \Bigl[\tfrac{u^{3}}{3}\Bigr]_{-1}^{0} = \frac{1}{3}.

Passo 6

Multiplicando os resultados radial e angular:
\frac{a^{5}}{5}\;\times\;\frac{1}{3} = \frac{a^{5}}{15}.

Resposta

\frac{a^{5}}{15}

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