Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
usando coordenadas polares. O conteúdo envolve mudança de variáveis em integrais duplas: precisamos descrever a região de integração em termos de
e
, substituir
,
e
pelas expressões polares e calcular.
Passo 2
A região
é dada por
Isto corresponde ao quarto de disco de raio
no segundo quadrante. Em coordenadas polares:
Passo 3
Em coordenadas polares temos
Logo
e o elemento de área adiciona mais um fator
, de modo que o integrando fica
Passo 4
A integral em polares separa-se em parte radial e parte angular:
Calcule a parte radial:
Passo 5
Calcule a parte angular com
,
.
Quando ,
; quando
,
. Então
Quando
Passo 6
Multiplicando os resultados radial e angular: