Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de a para os quais \lim _{x \rightarrow a} f(x) existe:
a) f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sqrt[3]{x} & \text { se } x \leq-1 \\\ x & \text { se }-1<x \leq 2 \\\ (x-1)^{2} & \text { se } x>2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} \sqrt[3]{x},&x\le -1,\\\ x,&-1<x\le 2,\\\ (x-1)^2,&x>2, \end{cases}
e pede para achar os valores de a tais que \lim_{x\to a}f(x) exista. Vamos usar que funções elementares (raiz, polinômio, identidade) são contínuas em seus domínios, e depois analisar os pontos de quebra x=-1 e x=2.

Passo 2

Para a<-1 e para -1<a<2 e para a>2, f coincide em vizinhanças desses pontos com uma única expressão contínua. Logo, em qualquer a interior a esses intervalos,
\lim_{x\to a}f(x)=f(a)
existe.

Passo 3

Em a=-1 temos duas laterais:
\lim_{x\to -1^-}f(x) =\lim_{x\to -1^-}\sqrt[3]{x} =\sqrt[3]{-1}=-1,
\lim_{x\to -1^+}f(x) =\lim_{x\to -1^+}x =-1.
Como os dois lados são iguais, \lim_{x\to -1}f(x) existe e vale -1.

Passo 4

Em a=2 também calculamos as laterais:
\lim_{x\to 2^-}f(x) =\lim_{x\to 2^-}x =2,
\lim_{x\to 2^+}f(x) =\lim_{x\to 2^+}(x-1)^2 =(2-1)^2=1.
Como 2\neq 1, \lim_{x\to 2}f(x) não existe.

Resposta

Os valores de a para os quais \lim_{x\to a}f(x) existe são todos os reais, exceto a=2. Em notação de conjunto:
\{a\in\mathbb{R}\mid \lim_{x\to a}f(x)\text{ existe}\} =\mathbb{R}\setminus\{2\}.

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