Encontre, se existir, o (Sol. Não existe)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o limite da função 4x^2|x^2+2| y quando (x, y) se aproxima de (0,0). Para isso, vamos usar conceitos de limites em várias variáveis e verificar se o limite existe ou não.

Passo 2

Para descobrir se o limite existe, a gente precisa testar diferentes caminhos pelos quais (x, y) pode chegar em (0,0). Se a gente obtiver resultados diferentes seguindo caminhos distintos, então o limite não existe.

Passo 3

Vamos testar dois caminhos diferentes:
a) Caminho onde y = x:
Substituindo y por x na função:
4x^2|x^2+2| x = 4x^2(x^2+2) x = 4xx^2+2
Agora, calculando o limite quando x tende a 0:
limx to 0 4xx^2+2 = 00 + 2 = 0
b) Caminho onde x = 0:
Substituindo x por 0 na função:
4 cdot 0^2|0^2+2| y = 02y = 0
O limite também dá 0 nesse caso.

Passo 4

Vamos testar um terceiro caminho para ter certeza. Vamos escolher y = x^2:
Substituindo y por x^2 na função:
frac4x^2|x^2+2| x^2 = 4x^2(x^2+2) x^2 = 4x^2+2
Agora, calculando o limite quando x tende a 0:
limx to 0 4x^2+2 = 40 + 2 = 2

Passo 5

Observamos que, dependendo do caminho que escolhemos, o limite da função dá resultados diferentes: 0 e 2. Isso mostra que o limite não é o mesmo em todas as direções.

Resposta

O limite não existe.

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