Dê um exemplo onde
existe, mas $ \lim _{x \rightarrow 0} f(x) $ não existe.
Passo 1
O enunciado quer uma função f tal que lim
_{x→0} f(x²) exista, mas lim
_{x→0} f(x) não exista. O conteúdo principal aqui é limites de funções e, em particular, como a composição f(x²) só “vê” valores de x² ≥ 0, enquanto f(x) pode sentir diferença entre x→0⁻ e x→0⁺.
_{x→0} f(x²) exista, mas lim
_{x→0} f(x) não exista. O conteúdo principal aqui é limites de funções e, em particular, como a composição f(x²) só “vê” valores de x² ≥ 0, enquanto f(x) pode sentir diferença entre x→0⁻ e x→0⁺.
Passo 2
Como x→0 implica x²→0 sempre por valores não negativos, o limite lim
_{x→0} f(x²) só depende de como f se comporta em torno de 0 pela direita. Se garantirmos que f tenha um valor único quando x≥0 próximo de zero, esse limite existe. Já o lim
_{x→0} f(x) pode falhar se os limites laterais forem diferentes.
_{x→0} f(x²) só depende de como f se comporta em torno de 0 pela direita. Se garantirmos que f tenha um valor único quando x≥0 próximo de zero, esse limite existe. Já o lim
_{x→0} f(x) pode falhar se os limites laterais forem diferentes.
Passo 3
Uma escolha simples é fazer f diferente de cada lado de zero. Por exemplo, definimos f de forma que dê 1 para todos os x≥0 e −1 para todos os x<0. Assim f muda de valor quando cruzamos x=0, fazendo os limites laterais divergirem.
Passo 4
Agora verificamos:
- Para x próximo de 0, x²≥0, então f(x²)=1 sempre. Logo
- Já lim_{x\to0^+} f(x)=1 e lim_{x\to0^-} f(x)=-1, portanto