Prove que $ \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow a} f(x-a) $.
Passo 1
O enunciado pede para provar que
. Vamos usar a definição
-
de limite e uma mudança de variável para mostrar que ambos os limites coincidem.
Passo 2
Denotemos
. Pela definição de limite, isso significa que para todo
existe
tal que, sempre que
, temos
Passo 3
Para analisar
, façamos a mudança de variável
Quando
, temos
.
Passo 4
Dado um
, escolha o mesmo
do passo 2. Se
, então
e, pela propriedade acima,
Isso mostra, pela definição de limite, que
Passo 5
Como ambos os limites são iguais a
, concluímos que