Prove que $ \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow a} f(x-a) $.

Passo 1

O enunciado pede para provar que limxto0f(x)=limxto af(x-a). Vamos usar a definição varepsilon- de de limite e uma mudança de variável para mostrar que ambos os limites coincidem.

Passo 2

Denotemos L=limxto0f(x). Pela definição de limite, isso significa que para todo varepsilon>0 existe de0 tal que, sempre que |x|, temos
|f(x)-L|.

Passo 3

Para analisar limxto af(x-a), façamos a mudança de variável
t = x - a
Quando xto a, temos tto0.

Passo 4

Dado um varepsilon>0, escolha o mesmo de0 do passo 2. Se |x - a|, então |t| e, pela propriedade acima,
|f(x - a)-L| = |f(t)-L|
Isso mostra, pela definição de limite, que
limxto af(x-a)=L

Passo 5

Como ambos os limites são iguais a L, concluímos que
limxto0f(x)=limxto af(x-a)

Resposta

limxto0f(x)=limxto af(x-a)

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