Determine a taxa de variação máxima de
no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
, sendo o ponto dado
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar qual é a taxa de variação máxima da função $ f(x, y) = \sin(xy) $ no ponto
e em qual direção isso acontece. Para resolver isso, vamos precisar usar Cálculo Diferencial, mais especificamente o conceito de gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a taxa de variação máxima de uma função em um ponto é dada pelo módulo do gradiente da função nesse ponto. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Então, para encontrar a taxa de variação máxima e a direção, precisamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de $ f(x, y) = \sin(xy) $:
-
Derivada parcial em relação a $ x $:
-
Derivada parcial em relação a $ y $:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
-
Para $ f_x $:
-
Para $ f_y $:
Então, o gradiente no ponto
é:
Passo 5
A taxa de variação máxima é o módulo do gradiente, que neste caso é:
Isso significa que a função não está mudando nada naquele ponto, ou seja, a taxa de variação máxima é zero.
Como o gradiente é o vetor zero, não há uma direção específica onde essa taxa ocorre, já que a função não está variando naquele ponto.
Resposta
A taxa de variação máxima de $ f $ no ponto
é 0, e essa variação ocorre em qualquer direção.