Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
f(x, y)=sin (x y)
, sendo o ponto dado (0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar qual é a taxa de variação máxima da função $ f(x, y) = \sin(xy) $ no ponto f(x, y) = sin(xy) e em qual direção isso acontece. Para resolver isso, vamos precisar usar Cálculo Diferencial, mais especificamente o conceito de gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a taxa de variação máxima de uma função em um ponto é dada pelo módulo do gradiente da função nesse ponto. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Então, para encontrar a taxa de variação máxima e a direção, precisamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de $ f(x, y) = \sin(xy) $:
  • Derivada parcial em relação a $ x $:
    f(x, y) = sin(xy)
  • Derivada parcial em relação a $ y $:
    x

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto (0,0):
  • Para $ f_x $:
    fx
  • Para $ f_y $:
    fx(0, 0) = 0 cdot cos(0 cdot 0) = 0
Então, o gradiente no ponto fy é:
fy(0, 0) = 0 cdot cos(0 cdot 0) = 0

Passo 5

A taxa de variação máxima é o módulo do gradiente, que neste caso é:
|nabla f(0, 0)| = raiz0^2 + 0^2 = 0
Isso significa que a função não está mudando nada naquele ponto, ou seja, a taxa de variação máxima é zero.
Como o gradiente é o vetor zero, não há uma direção específica onde essa taxa ocorre, já que a função não está variando naquele ponto.

Resposta

A taxa de variação máxima de $ f $ no ponto f é 0, e essa variação ocorre em qualquer direção.

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