Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
transformando antes para coordenadas polares. O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas, e vamos precisar: descrição da região em
, conversão do integrando
e da área
em
.
Passo 2
A região
em coordenadas cartesianas é dada por
No plano
, isso corresponde ao setor entre a reta
(isto é,
) e o eixo
(
), limitado radialmente pela curva
Assim, em polares temos
onde
é a raiz positiva da equação quadrática em
:
Passo 3
Convertendo o integrando e o elemento de área:
Em cartesianas: e
.
Em polares: , então
Em cartesianas:
Em polares:
Logo o integrando fica
Passo 4
Montamos a integral em coordenadas polares:
com
.
Passo 5
Embora a conversão polar esteja feita, a avaliação direta dessa integral leva a funções muito complicadas de
. Para obter o valor numérico de forma mais limpa, voltamos à ordem original cartesianas e calculamos: