Calcule a integral iterada.
integral1^4 integral0^1(6 x^2-2 x) d y d x

Passo 1

A integral iterada dada é integral1^4integral0^1(6x^2-2x),dy,dx. O conteúdo aqui é integração iterada (Teorema de Fubini) e vamos usar que, ao integrar primeiro em y, o integrando independe de y.

Passo 2

Como o integrando 6x^2-2x não depende de y, temos:
integral0^1(6x^2-2x),dy = (6x^2-2x)cdotl[yr]0^1 = (6x^2-2x)cdot(1-0) = 6x^2-2x

Passo 3

Agora substituímos na integral em x:
integral1^4(6x^2-2x),dx

Passo 4

Para calcular essa integral, lembramos das regras básicas:
integral 6x^2,dx = 6cdotx^33=2x^3, integral 2x,dx =2cdotx^22=x^2

Passo 5

Então
integral1^4(6x^2-2x),dx = l[2x^3-x^2r]1^4

Passo 6

Avaliando em x=4 e x=1:
2cdot4^3-4^2 = 2cdot64 -16 =128 -16 =112,
2cdot1^3-1^2 =2-1 =1

Passo 7

Subtraindo, obtemos 112 -1 =111.

Resposta

111

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