Prove ou dê um contraexemplo para cada uma das seguintes afirmações:
(g+h) circ f=g circ f+h circ f.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se vale a igualdade de funções (g+h)circ f = gcirc f + hcirc f. O conteúdo aqui é a composição de funções e a soma de funções, e vamos usar as definições:
– Para funções fcolon Xto Y e g,hcolon Yto Z, a soma g+hcolon Yto Z é dada por (g+h)(y)=g(y)+h(y).
– A composição (g+h)circ fcolon Xto Z satisfaz ((g+h)circ f)(x)=(g+h)(f(x)).

Passo 2

Começamos aplicando a definição de composição em um ponto xin X:
((g+h)circ f)(x)=(g+h)(f(x))

Passo 3

Agora usamos a definição de soma de funções em Y:
(g+h)(f(x))=g(f(x))+h(f(x))

Passo 4

Reescrevemos cada termo em função de composições:
g(f(x))=(gcirc f)(x),
h(f(x))=(hcirc f)(x)

Passo 5

Portanto juntando tudo:
((g+h)circ f)(x)=(gcirc f)(x)+(hcirc f)(x)
Isso mostra que para todo xin X temos
(g+h)circ f(x) = (gcirc f + hcirc f)(x),
logo as duas funções são iguais em cada ponto de X.

Resposta

A igualdade é verdadeira: (g+h)circ f = gcirc f + hcirc f vale para quaisquer funções adequadas, conforme demonstrado acima.

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