Prove ou dê um contraexemplo para cada uma das seguintes afirmações:
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se vale a igualdade de funções
. O conteúdo aqui é a composição de funções e a soma de funções, e vamos usar as definições:
– Para funções e
, a soma
é dada por
.
– A composição satisfaz
.
– Para funções
– A composição
Passo 2
Começamos aplicando a definição de composição em um ponto
:
Passo 3
Agora usamos a definição de soma de funções em
:
Passo 4
Reescrevemos cada termo em função de composições:
Passo 5
Portanto juntando tudo:
Isso mostra que para todo
temos
(x) =
(x),
logo as duas funções são iguais em cada ponto de .
logo as duas funções são iguais em cada ponto de
Resposta
A igualdade é verdadeira:
vale para quaisquer funções adequadas, conforme demonstrado acima.