Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
6. $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n!} $

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n!} $ é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas, especificamente sobre convergência absoluta e condicional. Vamos precisar entender o que significa cada tipo de convergência e aplicar alguns testes de convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é convergência absoluta e condicional. Uma série é absolutamente convergente se a série formada pelos valores absolutos dos termos também converge. Já uma série é condicionalmente convergente se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge.

Passo 3

Agora, vamos analisar a série dada: $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n!} $. Observe que os termos alternam de sinal devido ao $ (-1)^{n-1} $ e envolvem $ \frac{1}{n!} $.

Passo 4

Para verificar a convergência absoluta, vamos considerar a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n-1n! | = sumn=1^infty 1n!
Essa é a série da função exponencial $ e $, que sabemos que converge. Portanto, a série dos valores absolutos converge.

Passo 5

Já que a série dos valores absolutos $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} $ converge, isso significa que a série original $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n!} $ é absolutamente convergente. Quando uma série é absolutamente convergente, ela também é convergente.

Resposta

A série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n!} $ é absolutamente convergente.

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