Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
6. $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n!} $
6. $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n!} $
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n!} $ é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas, especificamente sobre convergência absoluta e condicional. Vamos precisar entender o que significa cada tipo de convergência e aplicar alguns testes de convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é convergência absoluta e condicional. Uma série é absolutamente convergente se a série formada pelos valores absolutos dos termos também converge. Já uma série é condicionalmente convergente se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
Passo 3
Agora, vamos analisar a série dada: $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n!} $. Observe que os termos alternam de sinal devido ao $ (-1)^{n-1} $ e envolvem $ \frac{1}{n!} $.
Passo 4
Para verificar a convergência absoluta, vamos considerar a série dos valores absolutos:
Essa é a série da função exponencial $ e $, que sabemos que converge. Portanto, a série dos valores absolutos converge.
Passo 5
Já que a série dos valores absolutos $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} $ converge, isso significa que a série original $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n!} $ é absolutamente convergente. Quando uma série é absolutamente convergente, ela também é convergente.
Resposta
A série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n!} $ é absolutamente convergente.