Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
integral0^2 integral0^raiz4-y^2 raizx^2+y^2 d y d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral iterada integral0^2integral0^raiz4-y^2 raizx^2+y^2,dx,dy (observando que a ordem correta é primeiro x de 0 a raiz4-y^2 e depois y de 0 a 2). O conteúdo principal é mudança para coordenadas polares, onde (x,y)mapsto(r,theta) vai simplificar o radical.

Passo 2

Na mudança para coordenadas polares usamos x=rcostheta, y=rsintheta e o fator de escala (Jacobian) é r. A região D é o quarto de círculo de raio 2 no 1.º quadrante, logo r varia de 0 a 2 e theta de 0 a pi/2.

Passo 3

Escrevendo a integral em polares, o integrando raizx^2+y^2 vira r, e o elemento de área dx,dy vira r,dr,dtheta. Assim obtemos
integral0^2integral0^pi/2 rcdot r,dtheta,dr = integral0^pi/2integral0^2 r^2,dr,dtheta

Passo 4

Agora integramos primeiro em r usando a potência:
integral0^2 r^2,dr = r^33|0^2 = 83

Passo 5

Por fim, integramos em theta:
integral0^pi/2 83,dtheta = 83,l(pi2r) = 4pi3

Resposta

4pi3

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