Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
, que corresponde à região semicircular de raio
no semiplano
. O conteúdo principal é a mudança para coordenadas polares para simplificar a integração sobre essa região.
Passo 2
Em coordenadas polares, usamos
,
e o fator de escala (Jacobiando)
. Como
, o ângulo
varia de
até
, e o raio
de
até
. Assim, a região
vira
.
O integrando em polares fica
O integrando
e incluindo o Jacobiano temos
Passo 3
Logo a integral separa-se em produto de duas integrais:
Passo 4
A parte radial é
Passo 5
Para a parte angular, fazemos
,
, assim
Passo 6
Multiplicando as partes radial e angular, obtemos o valor da integral