Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
integral0^a integral-raiza^2-y^2^raiza^2-y^2 x^2 y d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integraly=0^a integralx=-raiza^2-y^2^raiza^2-y^2 x^2y,dx,dy, que corresponde à região semicircular de raio a no semiplano y>=0. O conteúdo principal é a mudança para coordenadas polares para simplificar a integração sobre essa região.

Passo 2

Em coordenadas polares, usamos x=rcostheta, y=rsintheta e o fator de escala (Jacobiando) dx,dy = r,dr,dtheta. Como y>=0, o ângulo theta varia de 0 até pi, e o raio r de 0 até a. Assim, a região R vira 0<= r<= a,;0<=theta<=pi.
O integrando x^2y em polares fica
x^2y = (rcostheta)^2,(rsintheta) = r^3cos^2thetasintheta,
e incluindo o Jacobiano temos
x^2y,dx,dy = r^3cos^2thetasintheta times r,dr,dtheta = r^4cos^2thetasintheta,dr,dtheta

Passo 3

Logo a integral separa-se em produto de duas integrais:
integral0^pi!cos^2thetasintheta,dtheta times integral0^a r^4,dr

Passo 4

A parte radial é
integral0^a r^4,dr = l[tfracr^55r]0^a = a^55

Passo 5

Para a parte angular, fazemos u=costheta, du=-sintheta,dtheta, assim
integral0^pi cos^2thetasintheta,dtheta = -integralu=1^u=-1 u^2,du = integral-1^1 u^2,du = l[tfracu^33r]-1^1 = 23

Passo 6

Multiplicando as partes radial e angular, obtemos o valor da integral 2a^515

Resposta

2a^515

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