Calcule os valores de ao longo do caminho , onde é a
parte superior da circunferência de a

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC -2xy,dx + (x^2+y^2),dy ao longo da parte superior da circunferência x^2+y^2=a^2 de (a,0) até (-a,0). Esse é um problema de integral de linha de um campo vetorial não conservativo, e vamos precisar parametrizar a curva e usar dx e dy em função de um parâmetro.

Passo 2

Para parametrizar a semicircunferência superior usamos x=acos t e y=asin t com t variando de 0 a pi. Assim temos:
x(t)=acos t, y(t)=asin t, 0<= t<=pi
E os diferenciais são
dx=-asin t,dt, dy=acos t,dt

Passo 3

Agora substituímos na integral
integralC -2xy,dx + (x^2+y^2),dy = integral0^pi l(-2,(acos t)(asin t),(-asin t) + (a^2),(acos t)r)dt

Passo 4

Dentro do integrando simplificamos termo a termo:
  • O primeiro termo fica
-2a^2cos tsin t,(-asin t)=2a^3cos tsin^2 t
- O segundo termo é
a^2cdot acos t = a^3cos t
Somando dá
a^3cos tl(2sin^2 t +1r)=a^3cos tl(3-2cos^2 tr)

Passo 5

Agora fazemos a integral em t:
I = a^3integral0^pi cos t,(3-2cos^2 t),dt
Usamos que uma primitiva é
F(t)=a^3l(sin t +tfrac23sin^3 tr),
pois
ddtl(sin t +tfrac23sin^3 tr)=cos t +2sin^2 tcos t=cos t,(1+2sin^2 t)=cos t,(3-2cos^2 t)

Passo 6

Avaliação da primitiva de 0 a pi:
F(pi)-F(0)=a^3l(0+tfrac23,0r)-a^3l(0+tfrac23,0r)=0

Resposta

0

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