Um pulverizador de água gira em um círculo de raio
, pulverizando água a uma distância de 1 metro em todas as direções. A taxa de pulverização é de
litros por hora a uma distância de
metros do pulverizador.
(a) Se
, qual a quantidade total de água fornecida por hora?
(b) Determine uma expressão para a quantidade média de água por hora por metro quadrado dentro de um círculo de raio
.
(a) Se
(b) Determine uma expressão para a quantidade média de água por hora por metro quadrado dentro de um círculo de raio
Passo 1
Neste exercício, temos um pulverizador que gira cobrindo todas as direções até uma distância R do seu centro de rotação. A taxa de pulverização em cada direção θ é de 6 sin²θ litros por hora, uniforme ao longo da distância radial r. Para resolver, vamos usar coordenadas polares no plano (r,θ) e integrar a densidade de fluxo de água sobre o círculo de raio R.
Passo 2
A quantidade infinitesimal de água fornecida por hora em um elemento de área polar é dada por
amplitude em r de 0 a R e em θ de 0 a 2π.
Passo 3
Integramos primeiro em r, já que não há dependência de r na expressão além do diferencial. Assim,
Passo 4
Para calcular
, usamos o fato de que a média de
num perímetro completo é
. Logo,
Substituindo no cálculo de Q, obtemos
Passo 5
A média de água por hora por metro quadrado dentro do círculo de raio R é simplesmente o total Q dividido pela área da região,
. Então,
Resposta
(a)
litros por hora
(b) litros por hora por metro quadrado
(b)