Um pulverizador de água gira em um círculo de raio R, pulverizando água a uma distância de 1 metro em todas as direções. A taxa de pulverização é de 6 sin ^2 theta litros por hora a uma distância de r metros do pulverizador.
(a) Se 0, qual a quantidade total de água fornecida por hora?
(b) Determine uma expressão para a quantidade média de água por hora por metro quadrado dentro de um círculo de raio R.

Passo 1

Neste exercício, temos um pulverizador que gira cobrindo todas as direções até uma distância R do seu centro de rotação. A taxa de pulverização em cada direção θ é de 6 sin²θ litros por hora, uniforme ao longo da distância radial r. Para resolver, vamos usar coordenadas polares no plano (r,θ) e integrar a densidade de fluxo de água sobre o círculo de raio R.

Passo 2

A quantidade infinitesimal de água fornecida por hora em um elemento de área polar é dada por
dQ = l(6,sin^2thetar),dr,dtheta
amplitude em r de 0 a R e em θ de 0 a 2π.

Passo 3

Integramos primeiro em r, já que não há dependência de r na expressão além do diferencial. Assim,
Q = integral0^2piintegral0^R6,sin^2theta;dr,dtheta = integral0^2pi6,sin^2thetal(integral0^Rdrr)dtheta = integral0^2pi6,sin^2theta;R;dtheta = 6Rintegral0^2pisin^2theta;dtheta

Passo 4

Para calcular integral0^2pisin^2theta,dtheta, usamos o fato de que a média de sin^2theta num perímetro completo é 1/2. Logo,
integral0^2pisin^2theta;dtheta = pi
Substituindo no cálculo de Q, obtemos
Q = 6R times pi = 6pi R(litros por hora)

Passo 5

A média de água por hora por metro quadrado dentro do círculo de raio R é simplesmente o total Q dividido pela área da região, pi R^2. Então,
média = Qpi R^2 = 6pi Rpi R^2 = 6R(litros por hora por m^2) é

Resposta

(a) 6pi R litros por hora
(b) 6/R litros por hora por metro quadrado

Exercícios relacionados