Calcule a integral iterada dada.
\int_{0}^{2} \int_{-1}^{y^{2}} \int_{-1}^{z} y z \mathrm{dxdzdy}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{2}\int_{-1}^{y^{2}}\int_{-1}^{z}y\,z\;\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y.
O conteúdo aqui é integração sucessiva (Fubini), usando que, ao integrar em x, tratamos y e z como constantes, depois integramos em z e por fim em y.

Passo 2

Integramos primeiro em x:
\int_{-1}^{z}y\,z\;\mathrm{d}x
Como y\,z não depende de x, tira-se na frente e multiplicamos pelo comprimento do intervalo em x:
\int_{-1}^{z}y\,z\;\mathrm{d}x = y\,z\bigl[x\bigr]_{-1}^{z} = y\,z\,(z - (-1)) = y\,z\,(z+1).

Passo 3

Agora a integral em z fica
\int_{-1}^{y^2}y\,z\,(z+1)\;\mathrm{d}z = y\int_{-1}^{y^2}\bigl(z^2+z\bigr)\,\mathrm{d}z.
Calculamos
\int\bigl(z^2+z\bigr)\,\mathrm{d}z =\frac{z^3}{3}+\frac{z^2}{2},
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\int_{-1}^{y^2}\bigl(z^2+z\bigr)\,\mathrm{d}z =\Bigl(\frac{y^6}{3}+\frac{y^4}{2}\Bigr) -\Bigl(\frac{(-1)^3}{3}+\frac{(-1)^2}{2}\Bigr) =\frac{y^6}{3}+\frac{y^4}{2}-\frac{1}{6}.
Multiplicando por y dá a função de y:
y\Bigl(\frac{y^6}{3}+\frac{y^4}{2}-\frac{1}{6}\Bigr) =\frac{y^7}{3}+\frac{y^5}{2}-\frac{y}{6}.

Passo 4

Finalmente, integramos em y de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\Bigl(\frac{y^7}{3}+\frac{y^5}{2}-\frac{y}{6}\Bigr)\mathrm{d}y =\frac{1}{3}\int_{0}^{2}y^7\mathrm{d}y +\frac{1}{2}\int_{0}^{2}y^5\mathrm{d}y -\frac{1}{6}\int_{0}^{2}y\mathrm{d}y.
Calculando cada termo:
\int_{0}^{2}y^7\mathrm{d}y=\frac{2^8}{8}=\frac{256}{8}=32, \quad \int_{0}^{2}y^5\mathrm{d}y=\frac{2^6}{6}=\frac{64}{6}=\frac{32}{3}, \quad \int_{0}^{2}y\mathrm{d}y=\frac{2^2}{2}=2.
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\frac{1}{3}\cdot 32+\frac{1}{2}\cdot\frac{32}{3}-\frac{1}{6}\cdot 2 =\frac{32}{3}+\frac{16}{3}-\frac{2}{6} =\frac{48}{3}-\frac{1}{3} =\frac{47}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{47}{3}

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