5 Considere a função vetorial r(u, v)=u i+v j+\left(1-2 u^{2}-3 v^{2}\right) k, que é a representação paramétrica de um parabolóide. Determine a equação geral do plano tangente ao parabolóide no ponto de parâmetros u=\frac{1}{2} e v=\frac{1}{\sqrt{6}}.

Passo 1

O enunciado dá a superfície paramétrica
r(u,v)=u\,i+v\,j+\bigl(1-2u^2-3v^2\bigr)\,k
e pede a equação do plano tangente no ponto \bigl(u,v\bigr)=\bigl(\tfrac12,\tfrac1{\sqrt6}\bigr).
Conteúdo: plano tangente a superfícies paramétricas. Vamos precisar de \partial r/\partial u, \partial r/\partial v e do produto vetorial para achar o vetor normal, depois usar a forma n\cdot\bigl(x-x_0,y-y_0,z-z_0\bigr)=0.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais:
r_u(u,v)=\frac{\partial r}{\partial u}=\bigl(1,\,0,\,-4u\bigr), \quad r_v(u,v)=\frac{\partial r}{\partial v}=\bigl(0,\,1,\,-6v\bigr).

Passo 3

Avaliar em \displaystyle u_0=\tfrac12, \displaystyle v_0=\tfrac1{\sqrt6}:
o ponto na superfície é
P=r\bigl(\tfrac12,\tfrac1{\sqrt6}\bigr) =\Bigl(\tfrac12,\;\tfrac1{\sqrt6},\;1-2\cdot\tfrac14-3\cdot\tfrac16\Bigr) =\Bigl(\tfrac12,\;\tfrac1{\sqrt6},\;0\Bigr).
As derivadas valem
r_u\bigl(\tfrac12,\tfrac1{\sqrt6}\bigr)=(1,\,0,\,-2), \quad r_v\bigl(\tfrac12,\tfrac1{\sqrt6}\bigr)=(0,\,1,\,-\sqrt6).

Passo 4

O vetor normal ao plano tangente é
n = r_u\times r_v =\begin{vmatrix} i & j & k\\\\ 1 & 0 & -2\\\\ 0 & 1 & -\sqrt6 \end{vmatrix} =2\,i+\sqrt6\,j+1\,k,
ou seja n=(2,\sqrt6,1).

Passo 5

A equação do plano com normal n=(2,\sqrt6,1) passando por P=(x_0,y_0,z_0) é
2(x-\tfrac12)+\sqrt6\,(y-\tfrac1{\sqrt6})+1\,(z-0)=0.
Desenvolvendo:
2x-1+\sqrt6\,y-1+z=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x+\sqrt6\,y+z-2=0.

Resposta

2x+\sqrt6\,y+z-2=0.

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