5 Considere a função vetorial r(u, v)=u i+v j+\left(1-2 u^{2}-3 v^{2}\right) k, que é a representação paramétrica de um parabolóide. Determine a equação geral do plano tangente ao parabolóide no ponto de parâmetros u=\frac{1}{2} e v=\frac{1}{\sqrt{6}}.
Passo 1
O enunciado dá a superfície paramétrica
r(u,v)=u\,i+v\,j+\bigl(1-2u^2-3v^2\bigr)\,k
e pede a equação do plano tangente no ponto \bigl(u,v\bigr)=\bigl(\tfrac12,\tfrac1{\sqrt6}\bigr).
Conteúdo: plano tangente a superfícies paramétricas. Vamos precisar de \partial r/\partial u, \partial r/\partial v e do produto vetorial para achar o vetor normal, depois usar a forma n\cdot\bigl(x-x_0,y-y_0,z-z_0\bigr)=0.