4 Determine uma representação paramétrica do cone z=\sqrt{3 x^{2}+3 y^{2}} em função dos parâmetros \rho e \theta, onde ( \rho, \varphi, \theta ) são as coordenadas esféricas de um ponto na superfície.

Passo 1

O enunciado pede uma representação paramétrica do cone z = \sqrt{3\,x^2 + 3\,y^2} usando os parâmetros \rho e \theta, em que (\rho,\varphi,\theta) são as coordenadas esféricas. Vamos usar a relação entre coordenadas esféricas e cartesianas para fazer a parametrização.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos, para um ponto qualquer, as fórmulas
x = \rho\,\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\,\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\,\cos\varphi.
Aqui \rho\ge0, \varphi\in[0,\pi] e \theta\in[0,2\pi).

Passo 3

Substituindo x, y e z na equação do cone:
\rho\cos\varphi = \sqrt{3\bigl(\rho^2\sin^2\varphi\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\varphi\sin^2\theta\bigr)} = \sqrt{3}\,\rho\sin\varphi.
Cancelando \rho>0 e escrevendo em termos de \varphi, vem
\cos\varphi = \sqrt{3}\,\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \cot\varphi = \sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad \varphi = \frac{\pi}{6}.

Passo 4

Como \varphi é constante e igual a \pi/6, a parametrização fica
x(\rho,\theta) = \rho\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)\cos\theta = \frac{\rho}{2}\cos\theta,\quad y(\rho,\theta) = \frac{\rho}{2}\sin\theta,\quad z(\rho,\theta) = \rho\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) = \frac{\sqrt{3}\,\rho}{2},
com \rho\ge0 e \theta\in[0,2\pi).

Resposta

\mathbf{r}(\rho,\theta) = \biggl(\frac{\rho}{2}\cos\theta,\;\frac{\rho}{2}\sin\theta,\;\frac{\sqrt{3}\,\rho}{2}\biggr), \quad \rho\ge0,\;\theta\in[0,2\pi).

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