Calcule a integral iterada integral0^raizpi integralx^raizpi sen(y^2) d y d x.
Dica: Mude a ordem de integração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral iterada integral0^raizpi integralx^raizpi sin(y^2) , dy , dx. Isso envolve o conteúdo de integrais duplas e a dica sugere que a gente mude a ordem de integração. Para isso, vamos entender os limites de integração e reorganizar a integral de uma maneira que fique mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos x indo de 0 até raizpi e, para cada x, y vai de x até raizpi. Isso significa que a região está limitada pela linha y = x e pela reta y = raizpi.

Passo 3

Agora, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de x variar de 0 a raizpi e y de x a raizpi, vamos fazer y variar de 0 a raizpi e, para cada y, x vai de 0 até y. Assim, a integral fica:
integral0^raizpi integral0^y sin(y^2) , dx , dy

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a x. Como sin(y^2) não depende de x, ela pode sair da integral:
integral0^y sin(y^2) , dx = sin(y^2) cdot integral0^y dx = sin(y^2) cdot y
Então, a integral fica:
integral0^raizpi y cdot sin(y^2) , dy

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral integral y cdot sin(y^2) , dy . Para isso, usamos uma substituição simples:
  • Seja u = y^2, então du = 2y , dy ou y , dy = du2.
Substituindo na integral:
integral y cdot sin(y^2) , dy = 12 integral sin(u) , du = -12 cos(u) + C
Voltando para y:
-12 cos(y^2) |0^raizpi = -12 cos(pi) + 12 cos(0) = -12 (-1) + 12 (1) = 12 + 12 = 1

Resposta

O valor da integral é 1.

Exercícios relacionados