Calcule a integral iterada .
Dica: Mude a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral iterada . Isso envolve o conteúdo de integrais duplas e a dica sugere que a gente mude a ordem de integração. Para isso, vamos entender os limites de integração e reorganizar a integral de uma maneira que fique mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos indo de até e, para cada , vai de até . Isso significa que a região está limitada pela linha e pela reta .
Passo 3
Agora, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de variar de a e de a , vamos fazer variar de a e, para cada , vai de até . Assim, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a . Como não depende de , ela pode sair da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral . Para isso, usamos uma substituição simples: