Dado o vetor a=(2,-3,1) e b=(5,0,-2) :
Calcule o produto escalar a cdot b, o ângulo entre os vetores e encontre o vetor projeção de a sobre b.

Passo 1

Aqui a gente tem dois vetores, a = (2, -3, 1) e b = (5, 0, -2). Vamos calcular três coisas: o produto escalar a cdot b, o ângulo entre eles e a projeção do vetor a sobre o vetor b. Para isso, vamos precisar usar fórmulas de produto escalar, cálculo de ângulo entre vetores e a fórmula da projeção vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar a cdot b. O produto escalar de dois vetores em 3 dimensões é dado pela soma dos produtos das componentes correspondentes:
a cdot b = ax bx + ay by + az bz
Substituindo os valores:
a cdot b = (2)(5) + (-3)(0) + (1)(-2) = 10 + 0 - 2 = 8

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ângulo entre os dois vetores. A fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo theta entre os vetores é:
a cdot b = |a| |b| costheta
Já sabemos que a cdot b = 8. Precisamos encontrar as magnitudes dos vetores.
A magnitude de a:
|a| = raiz2^2 + (-3)^2 + 1^2 = raiz4 + 9 + 1 = raiz14 approx 3,7417
A magnitude de b:
|b| = raiz5^2 + 0^2 + (-2)^2 = raiz25 + 0 + 4 = raiz29 approx 5,3852
Agora, isolando costheta:
costheta = a cdot b|a| |b| = 8raiz14 cdot raiz29 = 8raiz406 approx 820,1494 approx 0,397
Finalmente, calculamos o ângulo:
theta = arccos(0,397) approx 66°

Passo 4

Por último, vamos encontrar o vetor projeção de a sobre b. A fórmula para a projeção de a em b é:
projb a = ( a cdot b|b|^2 ) b
Sabemos que a cdot b = 8 e |b|^2 = 5^2 + 0^2 + (-2)^2 = 25 + 0 + 4 = 29.
Então:
projb a = ( 829 ) b = ( 829 ) (5, 0, -2) = ( 4029, 0, -1629 ) approx (1,38, 0, -0,55)

Resposta

O produto escalar a cdot b é 8, o ângulo entre os vetores é aproximadamente 66° e a projeção de a sobre b é ( dfrac4029, 0, dfrac-1629 ).

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