Dado o vetor
e
:
Calcule o produto escalar
, o ângulo entre os vetores e encontre o vetor projeção de
sobre
.
Calcule o produto escalar
Passo 1
Aqui a gente tem dois vetores,
e
. Vamos calcular três coisas: o produto escalar
, o ângulo entre eles e a projeção do vetor
sobre o vetor
. Para isso, vamos precisar usar fórmulas de produto escalar, cálculo de ângulo entre vetores e a fórmula da projeção vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto escalar
. O produto escalar de dois vetores em 3 dimensões é dado pela soma dos produtos das componentes correspondentes:
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o ângulo entre os dois vetores. A fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo
entre os vetores é:
Já sabemos que
. Precisamos encontrar as magnitudes dos vetores.
A magnitude de
:
A magnitude de
:
Agora, isolando
:
Finalmente, calculamos o ângulo:
Passo 4
Por último, vamos encontrar o vetor projeção de
sobre
. A fórmula para a projeção de
em
é:
Sabemos que
e
.
Então:
Resposta
O produto escalar
é 8, o ângulo entre os vetores é aproximadamente
e a projeção de
sobre
é
.