Calcule a integral
onde
é a regiāo do primeiro quadrante limitada pelo circulo
as retas
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você pediu para calcular a integral dupla
, onde a região
está no primeiro quadrante, limitada pelo círculo
e pelas retas
e
. A matéria aqui é cálculo integral, mais especificamente integrais duplas em coordenadas polares. Vamos precisar entender como mudar para coordenadas polares e determinar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar para coordenadas polares porque a região é circular, o que geralmente simplifica as contas. Nas coordenadas polares, temos:
E a área diferencial fica
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração para
e
. O círculo
vira
, ou seja,
. Portanto,
vai de
até
.
Para
, estamos no primeiro quadrante e limitado pela reta
. Em coordenadas polares,
corresponde a
. Então,
vai de
até
.
Passo 4
Agora, reescrevemos a integral em coordenadas polares:
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Fazendo a substituição
,
, então
. A integral se torna:
Passo 5
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A integral vale
.