Calcule a integral integral duplaR e^-x^2-y^2 d A onde R é a regiāo do primeiro quadrante limitada pelo circulo x^2+y^2=4 e as retas x=0 e y=x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para calcular a integral dupla integral duplaR e^-x^2-y^2 d A, onde a região R está no primeiro quadrante, limitada pelo círculo x^2+y^2=4 e e pelas retas x=0 e y=x. A matéria aqui é cálculo integral, mais especificamente integrais duplas em coordenadas polares. Vamos precisar entender como mudar para coordenadas polares e determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar para coordenadas polares porque a região é circular, o que geralmente simplifica as contas. Nas coordenadas polares, temos:
x = r cos theta y = r sin theta
E a área diferencial fica dA = r , dr , dtheta.

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração para r e theta. O círculo x^2+y^2=4 e vira r^2 = 4 e, ou seja, r = raiz4 e = 2 raize. Portanto, r vai de 0 até 2 raize.
Para theta, estamos no primeiro quadrante e limitado pela reta y = x. Em coordenadas polares, y = x corresponde a theta = pi4. Então, theta vai de 0 até pi4.

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral em coordenadas polares:
integral duplaR e^-x^2-y^2 d A = integral0^pi4 integral0^2 raize e^-r^2 cdot r , dr , dtheta
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a r:
integral0^2 raize r e^-r^2 dr
Fazendo a substituição u = -r^2, du = -2r dr, então - 12 du = r dr. A integral se torna:
- 12 integral0^2 raize e^-r^2 cdot 2r dr = -12 [ e^-r^2 ]0^2 raize = -12 ( e^-4e - 1 ) = 12 (1 - e^-4e)

Passo 5

Agora, integramos em relação a theta:
integral0^pi4 12 (1 - e^-4e) dtheta = 12 (1 - e^-4e) cdot [ theta ]0^pi4 = 12 (1 - e^-4e) cdot pi4 = pi8 (1 - e^-4e)

Resposta

A integral vale dfracpi8 (1 - e^-4e).

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