Utilize a integral dupla para determinar a área da regiào delimitada por um laço da rosícea r=cos (5 theta).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a área de um laço da curva chamada rosácea, que é descrita pela equação r = cos(5theta) . Para resolver isso, vamos usar integrais duplas em coordenadas polares. Precisamos entender bem como funciona essa fórmula e como determinar os limites de integração para encontrar a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação r = cos(5theta) . Essa é a equação de uma rosácea com 5 ramos porque o número 5 multiplica o theta. Cada ramo corresponde a uma ondulação completa da curva.

Passo 3

Para encontrar a área de um único laço, precisamos descobrir os valores de theta onde a curva forma esse laço específico. Isso acontece quando r = 0 , ou seja, quando cos(5theta) = 0 . Resolvendo essa equação:
5theta = pi2 + kpi Rightarrow theta = pi10 + kpi5
Aqui, k é qualquer inteiro. Cada intervalo entre esses valores de theta corresponde a um laço. Vamos focar em um laço específico, por exemplo, entre theta = -pi10 e theta = pi10.

Passo 4

A fórmula para calcular a área em coordenadas polares é:
A = 12 integralalpha^beta r^2 , dtheta
Nesse caso, r = cos(5theta) , então substituindo na fórmula:
A = 12 integral-pi10^pi10 cos^2(5theta) , dtheta

Passo 5

Para facilitar a integração de cos^2(5theta) , usamos a identidade trigonométrica:
cos^2 x = 1 + cos(2x)2
Aplicando isso à nossa integral:
cos^2(5theta) = 1 + cos(10theta)2

Passo 6

Substituindo a identidade na integral:
A = 12 integral-pi10^pi10 1 + cos(10theta)2 , dtheta = 14 integral-pi10^pi10 (1 + cos(10theta)) , dtheta

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral-pi10^pi10 1 , dtheta = [theta]-pi10^pi10 = pi10 - (-pi10) = pi5
E,
integral-pi10^pi10 cos(10theta) , dtheta = [sin(10theta)10]-pi10^pi10 = sin(pi)10 - sin(-pi)10 = 0

Passo 8

Portanto, a área fica:
A = 14 ( pi5 + 0 ) = pi20

Resposta

A área de um laço da rosácea r = cos(5theta) é pi20 unidades de área.

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