Utilize a integral dupla para determinar a área da regiào delimitada por um laço da rosícea
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a área de um laço da curva chamada rosácea, que é descrita pela equação
. Para resolver isso, vamos usar integrais duplas em coordenadas polares. Precisamos entender bem como funciona essa fórmula e como determinar os limites de integração para encontrar a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação
. Essa é a equação de uma rosácea com 5 ramos porque o número 5 multiplica o
. Cada ramo corresponde a uma ondulação completa da curva.
Passo 3
Para encontrar a área de um único laço, precisamos descobrir os valores de
onde a curva forma esse laço específico. Isso acontece quando
, ou seja, quando
. Resolvendo essa equação:
Aqui,
é qualquer inteiro. Cada intervalo entre esses valores de
corresponde a um laço. Vamos focar em um laço específico, por exemplo, entre
e
.
Passo 4
A fórmula para calcular a área em coordenadas polares é:
Nesse caso,
, então substituindo na fórmula:
Passo 5
Para facilitar a integração de
, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso à nossa integral:
Passo 6
Substituindo a identidade na integral:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
E,
Passo 8
Portanto, a área fica:
Resposta
A área de um laço da rosácea
é
unidades de área.