Calcule a integral iterada. Esboce também a região R sobre a qual a integral é calculada.
integral1^2 integraly^2^y^3 d x d y

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral iterada integral1^2 integraly^2^y^3 dx,dy, ou seja, estamos integrando a função constante 1 sobre a região R definida por 1<= y<= 2 e y^2<= x<= y^3. Vamos usar cálculo de integrais simples em cada variável.

Passo 2

Primeiro, integramos em x tratando y como parâmetro:
integraly^2^y^3 dx = x l|x=y^2^x=y^3 = y^3 - y^2

Passo 3

Em seguida, integramos o resultado em y de 1 a 2:
integral1^2 (y^3 - y^2),dy = [y^44 - y^33]1^2 = (4 - 83) - (14 - 13) = 1712

Passo 4

Para esboçar a região R, desenhe o plano (x,y), trace as curvas x=y^2 e x=y^3 entre y=1 e y=2. Elas se cruzam em (1,1) e em y=2 são os pontos (4,2) e (8,2). A região fica entre essas duas curvas e as linhas horizontais y=1 e y=2.

Resposta

17/12

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