Obter a série de Fourier das seguintes funções:
f(x)=ll1, & x in[-L, 0), 0, & x in[0, L); f(x+2 L)=f(x)

Passo 1

Primeiro, resumindo o enunciado: temos a função periódica f(x) de período 2L definida por
f(x)=1 para xin[-L,0) e f(x)=0 para xin[0,L). O objetivo é obter sua série de Fourier trigonométrica, usando as fórmulas de a0, an e bn.

Passo 2

A expansão em série de Fourier para período 2L é:
f(x)=a02+sumn=1^inftyl(ancosl(tfracnpi xLr)+bnsinl(tfracnpi xLr)r)
Os coeficientes vêm de:
a0=1Lintegral-L^L f(x),dx, an=1Lintegral-L^L f(x)cosl(tfracnpi xLr),dx, bn=1Lintegral-L^L f(x)sinl(tfracnpi xLr),dx

Passo 3

Cálculo de a0:
a0=1Lintegral-L^L f(x),dx=1Lintegral-L^0 1,dx= L L=1
Logo, o termo constante na série é a0/2=1/2.

Passo 4

Cálculo de an:
an=1Lintegral-L^0cosl(tfracnpi xLr),dx=1Ll[ Lnpisinl(tfracnpi xLr)r]-L^0=1npi(0-sin(-npi))=sin(npi)npi=0
Portanto, todos os an são zero.

Passo 5

Cálculo de bn:
bn=1Lintegral-L^0sinl(tfracnpi xLr),dx=1Ll[- Lnpicosl(tfracnpi xLr)r]-L^0=-1npil(1-cos(-npi)r)
Como cos(-npi)=(-1)^n, temos
bn=-1-(-1)^nnpi=(-1)^n-1npi
Isso anula bn para n par e dá bn=-2/(npi) para n ímpar.

Passo 6

Substituindo os coeficientes na forma geral, temos
f(x)=12+sumn=1^infty(-1)^n-1npisinl(tfracnpi xLr)

Resposta

f(x)=12-2pisumk=0^inftysinl(tfrac(2k+1)pi xLr)2k+1

Exercícios relacionados