Faça o gráfico das seguintes funções:
(a)
(a)
Passo 1
Temos que desenhar o gráfico de
. O conteúdo aqui é análise de função racional e hiperbólica; vamos precisar achar domínio, simetria, assíntotas e pontos notáveis.
Passo 2
Reescrevendo
obtemos
. O domínio é
. Como
, a função é ímpar e seu gráfico é simétrico em relação à origem.
Passo 3
A assíntota vertical aparece onde o denominador se anula:
. Para
,
, então há assíntota oblíqua
.
Passo 4
Para esboçar a forma exata, calculamos a derivada:
Igualando a zero,
⇒
. Avaliando,
(mínimo local no ramo positivo) e
(máximo local no ramo negativo).
Passo 5
Não há raízes reais (
⇒
não tem solução real). Com domínio, simetria, assíntotas e pontos
,
, traçamos um ramo em
que vai de
em
, decresce até
e se aproxima de
quando
. O ramo em
é simétrico pelo fato de f ser ímpar.
Resposta
O gráfico de
é formado por duas curvas hiperbólicas simétricas em relação à origem, com assíntotas em
(vertical) e
(oblíqua). O ramo em
decresce de +∞ quando
até o ponto
, depois cresce aproximando-se de
para
. O ramo em
é o espelho pelo eixo da origem, passando por
.