Faça o gráfico das seguintes funções:
(a) f(x)=x^2+1x

Passo 1

Temos que desenhar o gráfico de f(x)=x^2+1x. O conteúdo aqui é análise de função racional e hiperbólica; vamos precisar achar domínio, simetria, assíntotas e pontos notáveis.

Passo 2

Reescrevendo f(x)=x^2+1x obtemos f(x)=x+1x. O domínio é xin Rmid xneq0. Como f(-x)=-x-tfrac1x=-(x+tfrac1x)=-f(x), a função é ímpar e seu gráfico é simétrico em relação à origem.

Passo 3

A assíntota vertical aparece onde o denominador se anula: x=0. Para |x|toinfty, f(x)=x+tfrac1xapprox x, então há assíntota oblíqua y=x.

Passo 4

Para esboçar a forma exata, calculamos a derivada:
f'(x)=1-1x^2
Igualando a zero, 1-tfrac1x^2=0 x=pm1. Avaliando, f(1)=2 (mínimo local no ramo positivo) e f(-1)=-2 (máximo local no ramo negativo).

Passo 5

Não há raízes reais ( f(x)=0 x^2+1=0 não tem solução real). Com domínio, simetria, assíntotas e pontos (1,2), (-1,-2), traçamos um ramo em x>0 que vai de +∞ em xto0^+, decresce até (1,2) e se aproxima de y=x quando xto+∞. O ramo em x<0 é simétrico pelo fato de f ser ímpar.

Resposta

O gráfico de f(x)=tfracx^2+1x é formado por duas curvas hiperbólicas simétricas em relação à origem, com assíntotas em x=0 (vertical) e y=x (oblíqua). O ramo em x>0 decresce de +∞ quando xto0^+ até o ponto (1,2), depois cresce aproximando-se de y=x para xto+∞. O ramo em x<0 é o espelho pelo eixo da origem, passando por (-1,-2).

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