Calcule a integral iterada:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{y} \int_{0}^{x} \cos (x+y+z) d z d x d y
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{y} \int_{0}^{x} \cos (x+y+z) d z d x d y
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
O conteúdo envolvido é aplicação direta de integração iterada (Teorema de Fubini), integrando sucessivamente em
, em
e em
.
Passo 2
Primeiro, integramos em
, mantendo
e
como constantes:
Passo 3
Agora, integramos em
x de
0 a
y :
Usamos as primitividades
integralsin(2x+y),dx=-tfrac12cos(2x+y) e
integralsin(x+y),dx=-cos(x+y) . Logo,
Subtraindo, obtemos
Passo 4
Por fim, integramos em
y de
0 a
tfracpi2 :
Calculando termo a termo:
Somando: