Calcule a integral iterada:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{y} \int_{0}^{x} \cos (x+y+z) d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integraly=0^pi2 integralx=0^y integralz=0^x cosl(x+y+zr),dz,dx,dy
O conteúdo envolvido é aplicação direta de integração iterada (Teorema de Fubini), integrando sucessivamente em z, em x e em y.

Passo 2

Primeiro, integramos em z, mantendo x e y como constantes:
integral0^xcosl(x+y+zr),dz =sinl(x+y+zr)|z=0^z=x =sin(2x+y)-sin(x+y)

Passo 3

Agora, integramos em x de 0 a y:
integral0^yl[sin(2x+y)-sin(x+y)r],dx
Usamos as primitividades integralsin(2x+y),dx=-tfrac12cos(2x+y) e integralsin(x+y),dx=-cos(x+y). Logo,
integral0^ysin(2x+y),dx =-tfrac12cos(2x+y)|0^y =tfrac12l[cos(y)-cos(3y)r],
integral0^ysin(x+y),dx =-cos(x+y)|0^y =cos(2y)-cos(y)
Subtraindo, obtemos
integral0^y[sin(2x+y)-sin(x+y)],dx =12cos(y)-12cos(3y)-l[cos(2y)-cos(y)r] =tfrac32cos(y)-cos(2y)-tfrac12cos(3y)

Passo 4

Por fim, integramos em y de 0 a tfracpi2:
integral0^pi2 l(tfrac32cos(y)-cos(2y)-tfrac12cos(3y)r),dy
Calculando termo a termo:
integral0^pi2tfrac32cos(y),dy =tfrac32sin(y)|0^pi2 =tfrac32,
integral0^pi2cos(2y),dy =tfrac12sin(2y)|0^pi2 =0,
integral0^pi2tfrac12cos(3y),dy =tfrac12cdottfrac13sin(3y)|0^pi2 =-tfrac16(-1)=tfrac16
Somando:
tfrac32-0-tfrac16=96+16=106=53

Resposta

53

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