Calcule a integral iterada:
\int_{0}^{2} \int_{0}{z{2}} \int_{0}^{y-z}(2 x-y) d x d y d z

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa calcular a integral tripla integral0^2integral0^z^2integral0^y-z(2x - y),dx,dy,dz. O conteúdo é integração iterada, usando linearidade e antiderivadas, e vamos integrar na ordem x, depois y e depois z.

Passo 2

Primeiro, integramos em x, usando integral(2x - y),dx = x^2 - yx. Então
integral0^y-z(2x - y),dx = l[x^2 - yxr]0^y-z = (y-z)^2 - y(y-z) = z^2 - yz

Passo 3

Em seguida, integramos esse resultado em y, aproveitando a linearidade:
integral0^z^2(z^2 - yz),dy = l[z^2y - zy^22r]0^z^2 = z^4 - z^52

Passo 4

Por fim, falta integrar em z:
integral0^2l(z^4 - z^52r),dz = l[z^55 - z^612r]0^2 = 325 - 6412 = 1615

Resposta

1615

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