Resolva os problemas de valores iniciais propostos e, na medida do possível, encontre os domínios das soluções obtidas.
y^prime=varepsilon y-sigma y^3, y(0)=1 onde varepsilon e sigma são constantes positivas.
Dicas: Equação de Bernoulli

Passo 1

O problema é a EDO de Bernoulli
y' = varepsilon,y - sigma,y^3, y(0)=1,
com varepsilon>0 e sigma>0.
Para resolver, vamos usar a transformação clássica de Bernoulli, convertendo em EDO linear via a substituição v=y^-2.

Passo 2

Defina
v = y^-2
Então
dvdt = -2,y^-3,dydt = -2,y^-3l(varepsilon,y-sigma,y^3r) = -2,varepsilon,y^-2 +2,sigma = -2,varepsilon,v +2,sigma
Logo v satisfaz a EDO linear
dvdt +2,varepsilon,v = 2,sigma

Passo 3

Para resolver
dvdt +2varepsilon,v = 2sigma
usamos fator integrante e^2varepsilon t. Multiplicando e integrando,
ddtl(v,e^2varepsilon tr) =2sigma,e^2varepsilon t Longrightarrow v,e^2varepsilon t =integral 2sigma,e^2varepsilon t,dt +C =sigmavarepsilon,e^2varepsilon t+C
Assim
v(t) =sigmavarepsilon + C,e^-2varepsilon t

Passo 4

Voltando a , temos
De segue
Portanto a solução explícita é

Passo 5

Analisando o domínio pela condição de dentro da raiz positiva, isto é
sigmavarepsilon+l(1-sigmavarepsilonr)e^-2varepsilon t>0,
temos três casos:
  1. Se varepsilon>sigma, então 1-sigmavarepsilon>0 e o somatório é sempre positivo. Domínio: tinR
  2. Se varepsilon=sigma, então a solução reduz-se a y(t)equiv1 e o domínio é tinR
  3. Se varepsilon<sigma, então 1-sigmavarepsilon<0 e existe um tempo crítico
t*=12varepsilonln!l(sigma-varepsilonsigmar)
tal que para t<= t* o denominador zera ou fica negativo. Logo o domínio máximo em que a solução está bem definida é
t>t*

Resposta

y(t) =1raizsigmavarepsilon +l(varepsilon-sigmavarepsilonr)e^-2varepsilon t,
com domínios:
  • se varepsilon>=sigma, então tinR;
  • se varepsilon<sigma, então t> tfrac12varepsilonln!l(tfracsigma-varepsilonsigmar).

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