Resolva os problemas de valores iniciais propostos e, na medida do possível, encontre os domínios das soluções obtidas.
onde
e
são constantes positivas.
Dicas: Equação de Bernoulli
Passo 1
O problema é a EDO de Bernoulli
com
e
.
Para resolver, vamos usar a transformação clássica de Bernoulli, convertendo em EDO linear via a substituição .
Para resolver, vamos usar a transformação clássica de Bernoulli, convertendo em EDO linear via a substituição
Passo 2
Defina
Então
Logo
satisfaz a EDO linear
Passo 3
Para resolver
usamos fator integrante
. Multiplicando e integrando,
Assim
Passo 4
Voltando a
, temos
De
segue
Portanto a solução explícita é
Passo 5
Analisando o domínio pela condição de dentro da raiz positiva, isto é
temos três casos:
-
Se
, então e o somatório é sempre positivo. Domínio: -
Se
, então a solução reduz-se a e o domínio é -
Se
, então e existe um tempo crítico
tal que para
o denominador zera ou fica negativo. Logo o domínio máximo em que a solução está bem definida é
Resposta
com domínios:
- se
, então ; - se
, então .